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##[$AcWing$ $203$. 同余方程](https://www.acwing.com/problem/content/description/205/)
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### 一、题目描述
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求关于 $x$ 的同余方程 $ax≡1~(mod~b)$ 的 **最小正整数解**。
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**输入格式**
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输入只有一行，包含两个正整数 $a,b$，用一个空格隔开。
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**输出格式**
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输出只有一行，包含一个正整数 $x$，表示最小正整数解。
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输入数据保证一定有解。
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**数据范围**
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$2≤a,b≤2×10^9$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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3 10
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```
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**输出样例**
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```cpp {.line-numbers}
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7
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```
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><font color='red' size=4><b>样例解读：$3*7\%10=1$,此时$7$是最小正整数解</b></font>
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### 二、解题思路
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**线性同余方程模板题**
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因为题目说一定有解。根据裴蜀定理，线性同余方程 $a*x≡b(mod~ m)$有解，当且仅当$gcd(a,m)|b$ 。
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回到本题，就是 $gcd(a,b)=1$，对照通用形式$\large ax+my=b$，上面的方程对位改写为 $\large ax+by=1$
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<font color='red' size=4><b>解释:
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通用式 $a*x≡b(mod~ m) \Leftrightarrow ax+my=b $
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本题式 $a*x≡1~(m od~b) \Leftrightarrow ax+by=1$
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</b></font>
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#### 扩欧解题两步走
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- ① 用扩展欧几里得算法求出方程$ax+by=1$的一组解$(x_0,y_0)$
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- ② 将 $x_0~mod~b$，转移到 $1\sim b$ 区间内即可
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
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if (!b) {
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x = 1, y = 0;
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return a;
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}
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int d = exgcd(b, a % b, y, x);
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y -= a / b * x;
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return d;
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}
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signed main() {
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int a, b;
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cin >> a >> b;
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int x, y;
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exgcd(a, b, x, y);
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cout << (x % b + b) % b << endl;
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}
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```
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