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## $Tarjan$——强连通分量
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首先了解几个概念：**强连通**，**强连通图**，**强连通分量**
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* 强连通：在一个有向图$G$中，两个点$a，b$，$a$可以走到$b$，$b$可以走到$a$，我们就说$(a,b)$强连通
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* 强连通图：在一个有向图$G$中，任意两个点都是强连通
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* 强连通分量：在一个有向图$G$中，有一个子图，它任意两个点都是强连通，我们就说这个子图为强连通分量，**特别的**，**一个点也是一个强连通分量**
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如图所示：
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<center><img src='https://img2018.cnblogs.com/blog/1646527/201908/1646527-20190808104944394-690917072.png'></center>
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显然可得：$1,2,3,5$ 构成了一个强连通分量（**一个点也是**）
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首先引进一个概念:
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* **时间戳**，用数组$dfn$表示，也就是搜索这个图的顺序,**每个节点的时间戳不同**。
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* $low[x]$,以$x$为根的子树中，每个节点中连接的点的时间戳的最小值
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$low$的初值:$low[x]=dfn[x]$
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**可能有点难懂，但这个非常重要，是核心思想，等一下的模拟过程会详细讲述**
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* 如何储存强连通分量呢，可以用 **栈**
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**算法步骤**
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* 每次遍历到一个新节点，就把它放进栈，如果这个点有出度，就继续往下找，直到不能再找
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* 每一次回来都要更新$low$值，当然是取小的那个，如果发现$low[x]=dfn[x]$那么它的子节点中肯定有一个连上来，既然可以过去又可以回来，很明显是一个强连通分量。那么这个$x$就是这个强连通分量的根节点，那么栈中间，比这个$x$晚进来的点就是$x$的子节点，那么这些点全部出栈，就组成了一个强连通分量
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到这来就完了，但是好像还是 **没有理解透彻**（反正我是这样）
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那么就模拟一下,还是这张图$5->4$
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<center><img src='https://img2018.cnblogs.com/blog/1646527/201908/1646527-20190808105814911-244665167.png'></center>
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* $low[1]=dfn[1]=1$，$1$入栈
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* $low[2]=dfn[2]=2$，$2$入栈
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* $low[3]=dfn[3]=3$，$3$入栈
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* $low[5]=dfn[5]=4$，$5$入栈
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然后发现$5$连接着$1$，已经$1$寻找过的了，那么就看看，$PK$下谁才是真正的祖先
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$low[1]=1$,$low[5]=4$,好吧，$5$输了，所以$1$是$5$的根节点，
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$$\large low[5]=min(low[5],low[1])=1$$
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继续发现还有$4$，$low[4]=dfn[4]=5$， <font color='red' size=4><b>$4$入栈</b></font>
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但是$4$已经没有了出度，往回退
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发现$low[4]=dfn[4]$那么$4$就是一个强连通分量的根节点（其实也就它一个），$4$退栈
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继续往回退：$low[5]=min(low[5],low[4])=1$;
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继续：一直到$1$，
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$$\large low[3]=min(low[3],low[5])=1 \\
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low[2]=min(low[2],low[3])=1 \\
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low[1]=min(low[1],low[2])=1$$
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发现此时$low[1]=dfn[1]$，所以$1$也是 **一个强连通分量的根**，此时发现栈里还有$1,2,3,5$,所以这个强连通分量为$1,2,3,5$
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$1$还有一个出度：$4$
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寻找$4$，$low[4]=dfn[4]=5$,发现没有出度
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$low[4]=dfn[4]$,所以$4$是一个强连通分量的根节点（还是只有他一个），退栈
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往回退，$low[1]=min(low[1],dfn[4])=1$;
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这样就完了吗？
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万一还有图没有遍历到呢
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所以要加一个语句:
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```c++
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (!dfn[i]) tarjan(i);
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```
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#### 练习题
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[P2863 [USACO06JAN]The Cow Prom S](https://www.luogu.com.cn/problem/P2863)
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**题目描述**
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有一个 $n$ 个点，$m$ 条边的有向图，请求出这个图点数大于 $1$ 的强联通分量个数。
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**输入格式**
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第一行为两个整数 $n$ 和 $m$。
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第二行至 $m+1$ 行，每一行有两个整数 $a$ 和 $b$，表示有一条从 $a$ 到 $b$ 的有向边。
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**输出格式**
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仅一行，表示点数大于 $1$ 的强联通分量个数。
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```c++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 50002, M = N << 1;
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int n, m, ans;
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int stk[N], top; // tarjan算法需要用到的堆栈
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bool in_stk[N]; // 是否在栈内
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int dfn[N]; // dfs遍历到u的时间
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int low[N]; // 从u开始走所能遍历到的最小时间戳
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int ts; // 时间戳,dfs序的标识,记录谁先谁后
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int id[N], scc_cnt; // 强连通分量块的最新索引号
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int sz[N]; // sz[i]表示编号为i的强连通分量中原来点的个数
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//链式前向星
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int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c = 0) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
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}
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// tarjan算法求强连通分量
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void tarjan(int u) {
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dfn[u] = low[u] = ++ts;
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stk[++top] = u;
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in_stk[u] = 1;
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int j = e[i];
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if (!dfn[j]) {
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tarjan(j);
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low[u] = min(low[u], low[j]);
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} else if (in_stk[j])
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low[u] = min(low[u], dfn[j]);
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}
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if (dfn[u] == low[u]) {
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++scc_cnt; // 强连通分量的序号
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int x; // 临时变量x,用于枚举栈中当前强连通分量中每个节点
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do {
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x = stk[top--]; //弹出节点
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in_stk[x] = false; //标识不在栈中了
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id[x] = scc_cnt; //记录每个节点在哪个强连通分量中
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sz[scc_cnt]++; //这个强连通分量中节点的个数+1
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} while (x != u);
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}
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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scanf("%d %d", &n, &m);
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for (int i = 1; i <= m; i++) {
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int a, b;
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scanf("%d %d", &a, &b);
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add(a, b);
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}
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (!dfn[i]) tarjan(i);
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//枚举结果数组，统计题目要求的 点数大于 1 的强联通分量个数
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for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++)
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if (sz[i] > 1) ans++;
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printf("%d\n", ans);
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return 0;
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}
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```
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