python/TangDou/CSP-J/AcWingTraining/T6/455.md

## [$AcWing$ $455$. 小朋友的数字](https://www.acwing.com/problem/content/457/)

### 一、题目描述
有 $n$ 个小朋友排成一列。

每个小朋友手上都有一个 **数字**，这个数字可正可负。
> **注**：$a[i]$

规定每个小朋友的 **特征值** 等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中**连续若干个**（最少有一个）小朋友手上的**数字之和的最大值**。
> **注：$b[i]$=特征值=最大子段和**

作为这些小朋友的老师，你需要给每个小朋友一个 **分数** ，分数是这样规定的：
> **注**：$c[i]$

第一个小朋友的分数是他的特征值
> **注**：$c[1]=b[1]$

其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。 

请**计算所有小朋友分数的最大值**，输出时保持最大值的符号，将其**绝对值**对 $p$ 取模后输出。

**输入格式**
第一行包含两个正整数 $n、p$，之间用一个空格隔开。

第二行包含 $n$ 个数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每个小朋友手上的数字。

**输出格式**
输出只有一行，包含一个整数，表示最大分数对 $p$取模的结果。

**数据范围**
$1≤n≤10^6,1≤p≤10^9$,其他数字的绝对值均不超过$10^9$

**输入样例1** ：
```cpp {.line-numbers}
5 997
1 2 3 4 5
```
**输出样例 1**：
```cpp {.line-numbers}
21
```

**输入样例 2**：
```cpp {.line-numbers}
5 7
-1 -1 -1 -1 -1
```

**输出样例 2**：
```cpp {.line-numbers}
-1
```

### 二、前置知识
**[$AcWing$ $126$. 最大的和](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17744300.html)**

我们用 生活场景类比 ，把这三个概念说得更直白一些：

#### 1. 数字（对应代码里的 $x$ ）
- 直白解释： 每个小朋友本身带有的一个数 （可能是正数、负数或0）。
- 举例：比如3个小朋友，他们的数字分别是 3 、 -1 、 4 。这就是题目直接给的原始数据。
  
#### 2. 特征值（对应代码里的 $f[i]$）
- 直白解释： 前$i$个小朋友的数字中，选一段连续的数字相加，能得到的最大的和 。
- 关键点：必须是「连续的一段」，不能跳着选；目标是找出这段连续数字的和最大是多少。
- 举例：
  - 前1个小朋友（数字3）：只能选他自己，特征值是 3 。
  - 前2个小朋友（数字3、-1）：可以选「3」（和3）或「3+-1=2」，最大的是 3 ，所以特征值是 3 。
  - 前3个小朋友（数字3、-1、4）：可以选「3+-1+4=6」或「4」，最大的是 6 ，所以特征值是 6 。
- 注意：如果前i个数字全是负数，特征值就是最大的那个负数（比如数字是-2、-1，前2个的特征值是-1）。
#### 3. 分数（对应代码里的 $res$ 和 $score$ 维护的值）
- 直白解释： 每个小朋友的最终得分 ，计算规则分两种情况：
  - 第1个小朋友：分数 = 他的特征值（因为前面没有其他小朋友）。
  - 第i个小朋友（i>1）：分数 = 前面所有小朋友中，「分数+特征值」的最大值。
- 核心逻辑：后面的小朋友可以「继承」前面某个小朋友的分数和特征值之和，取最大的那个作为自己的分数。
- 举例（接上面的特征值例子）：
  - 第1个小朋友分数： 3 （他的特征值）。
  - 第2个小朋友分数：前面只有第1个小朋友，所以分数是 3+3=6 。
  - 第3个小朋友分数：前面有第1和第2个小朋友，计算 3+3=6 和 6+3=9 ，取最大的 9 。
- 注意：分数可能会非常大，所以代码里用了 __int128 来防止溢出，最后再对 p 取模输出。

#### 三者的关系
数字 →（计算最大子段和）→ 特征值 →（计算前面分数+特征值的最大值）→ 分数

简单来说：数字是原始数据，特征值是数字的「连续和最大值」，分数是基于前面所有小朋友的「分数+特征值」推导出来的最终结果。

### 三、解题思路
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000010;
int n, p; // n个小朋友，模p
LL f[N];  // DP数组，前序最大子段和

int main() {
    cin >> n >> p; // n个小朋友，模p
    LL s = 0, mx = -1e18;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        s = max(s, 0ll) + x; // 最大子段和的套路,如果能继承父亲的财产就继承，如果父亲只有债务，就不管
        mx = max(mx, s);     // 到i为止可以获得的最大子段和
        f[i] = mx;           // 保存到dp数组f[N]中
    }

    /*
      ① 每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个
      （最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。
      ② 第一个小朋友的分数是他的特征值，
      其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。 
    */
    LL res = f[1]; // 第一个小朋友的得分目前是大王

    LL score = f[1] * 2; // 第二个小朋友的得分 = 第一个小朋友的得分+第一个小朋友的特征值

    for (int i = 2; i <= n; i++) {   // 从第二个小朋友开始，到最后一个小朋友枚举
        res = max(res, score);       // res:记录最大分数
        if (f[i] > 0) score += f[i]; // 如果最大子段和大于0，可以接在后面
    }
    printf("%lld\n", res % p); // 对p取模输出
    return 0;
}
```

上面的代码只能通过$10/12$,不能$AC$,因为会爆$long$ $long$,办法就是用$\_\_int128$

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef __int128 LL;
const int N = 1000010;
int n, p;
LL f[N];
LL max(LL a, LL b) {
    if (a >= b) return a;
    return b;
}
int main() {
    cin >> n >> p;
    LL s = 0, mx = -1e36;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        s = max(s, 0) + x;
        mx = max(mx, s);
        f[i] = mx;
    }
    LL res = f[1], score = f[1] * 2;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        res = max(res, score);
        if (f[i] > 0) score += f[i];
    }
    printf("%lld\n", res % p);
    return 0;
}
```