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## 欧拉图专题

### 一、历史背景

![](https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fwww.51wendang.com%2Fpic%2F7f818630501f108951e90efc%2F3-810-jpg_6-1080-0-0-1080.jpg&refer=http%3A%2F%2Fwww.51wendang.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1672216543&t=e957e244d607da6cf66f2a0336ea7f33)

欧拉证明了这种走法是 **不可能的**。

首先能想到的证明方法是把走七座桥的走法都列出来，一个一个的试验，但七座桥的所有走法共用$7！=5040种$，逐一试验将是很大的工作量。欧拉作为数学家，当然没那样想。欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每一座桥抽象成连接顶点的一条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下面的图：

![](https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202108/8562-20210811165742632-1833717992.png)

**假设每座桥都恰好走过一次**，那么对于$A、B、C、D$四个顶点中的每一个顶点，需要从某条边进入，同时从另一条边离开。进入和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进入的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是 **偶数** 。

而上图中$A、C、D$四个顶点的相连边都是$3$，顶点$B$的相连边为$5$，都为 **奇数**。因此，这个图无法从一个顶点出发，遍历每条边各一次。

### 二、相关的概念和定理
**欧拉图、欧拉路径/回路**

* 能够不重复地遍历完所有的边的路径——即一笔画的 **笔画**，称为 **欧拉路径**
 
* 如果上述路径的起点与终点相同，则称为 **欧拉回路**

* 包含欧拉路径的图称为**欧拉图**
  

如下$gif$所示的图就是欧拉图，存在一个欧拉路径。
<div align='center'>
   <img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202108/8562-20210811170124935-1384516467.gif'>
</div>

下图是一笔画成的 **串** 字，也就是说烧烤店门口挂的这个字可以用单条$LED$灯带做成。
<div align='center'>
  <img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202108/8562-20210811170455185-9048501.png'>
</div>

那么柯尼斯堡七桥问题为什么不能 **一笔画** 呢？来看看欧拉提出的定理:

**欧拉定理**

欧拉同时考虑到了有向图与无向图的情况，因此要分别讨论。

**无向图的情况**
定理：
> <font color='red' bold=true size='4px'>连通无向图$G$有欧拉路径的充要条件为：$G$中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有$0$个或者$2$个。</font>

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230802160711.png)

证明：
`略`

可知，柯尼斯堡七桥问题中的图有$4个$奇度顶点（$1$个度数为$5$，$3$个度数为$3$），所以不存在欧拉路径。

**有向图的情况**
定理：
<font color='red' bold=true size='4px'>
> 底图连通的有向图$G$有欧拉路径的充要条件为：
> 1、$G$的所有顶点入度和出度都相等；
> 2、或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为$1$，另一个顶点的入度与出度之差为$1$。
</font>

证明:`略`
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230802160553.png)

欧拉定理介绍完了，那么如何找到具体的路径呢？

**寻找欧拉路径/回路**

* <font color='red'  bold=true size='4px'> ① 判断图的连通性,非连通图是不存在欧拉路径/回路的。</font>

    判断图的连通性可以通过传统的$DFS$方法，也可以通过 **并查集** 实现，另外还有基于传递闭包的$Floyd$-$Warshall$算法（没错就是求最短路的那个），可以参考配置习题学习，不再赘述。
    
#### [图的连通性判断办法](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15131149.html)


* <font color='red'  bold=true size='4px'> ② 判断是否存在欧拉路径/回路</font>
如果图是连通的，我们再遍历每个顶点的度（有向图就是入度和出度），根据欧拉定理即可判断图中是否欧拉路径/回路。

  - 连通 **无向图** $G$有欧拉路径的充要条件为：$G$中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有$0$个或者$2$个。
  -  底图连通的 **有向图** $G$有欧拉路径的充要条件为：
       - $G$的所有顶点入度和出度都相等
       - 或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为$1$，另一个顶点的入度与出度之差为$1$

* <font color='red'  bold=true size='4px'>③ 找出路径的起点和终点</font>
如果是欧拉路径的话，还能顺便找出路径的起点和终点。

### 三、题单
**[$AcWing$ $1123$. 铲雪车](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16105891.html)**
**【无向图、无需建图、欧拉回路、每一次都可以走不同的路线清雪，不会空车跑】**

**[$AcWing$ $1184$. 欧拉回路](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16106809.html)**
**【无向图+有向图、稀疏图+链式前向星、找欧拉回路、变态级别的删边优化】**

**[$AcWing$ $1124$. 骑马修栅栏](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16112674.html)**
**【无向图，稠密图+邻接矩阵、删边优化、记录节点，不是记录边、找欧拉路径起点、字典序=正序枚举+倒序输出】**

**[$AcWing$ $1185$. 单词游戏](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16113270.html)**
**【有向图，根据入度和出度判断是否符合欧拉通路，再用并查集或$dfs$判连通性，$dfs$的话，注意删边优化，并查集不需要优化】**

**[$HDU 1878$ 无向图判定欧拉回路 模板题](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16111585.html)**
**【无向图，不用建图，用并查集判连通性,根据入度和出度判断是否符合欧拉通路】**

**[$POJ$ $1300$ $Door$ $Man$ ](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17614261.html)**
**【无向图，判断欧拉回路、欧拉路径】**

**[$P1341$ 无序字母对](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17603323.html)**
**【邻接矩阵，无向图，删边，并查集判连通,$dfs$求欧拉路径】**


**[$POJ$ $1041$ $John′s$ $trip$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17605621.html)**
**【无向图,求边号字典序最小的欧拉回路,需要记录边号，按边号由小到大排序，正序输出；或者按边号由大到小排序，倒序输出,使用结构体进行自定义排序，然后再用链式前向星建图，这一点不如邻接表，邻接表可以直接排序，链式前向星不行，需要结构体辅助】**


**[$P7771$ 【模板】欧拉路径](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17604965.html)**
**【有向图，欧拉路径是否存在，删边，欧拉路径记录，字典序最小】**

**[$POJ$ $2337$ $Catenyms$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17606179.html)**
**【有向图，欧拉路径是否存在，删边，记录欧拉路径，字典序最小】**


**[$POJ2230$ $Watchcow$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17606450.html)**
**【无向图，欧拉路径】**


**[$P3520$ [$POI2011$]$SMI$-$Garbage$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17610559.html)**
**【无向图，欧拉回路，多组, $dfs$找简单环,欧拉回路拆环】**

**[$HDU$ - $5883$ $The$ $Best$ $Path$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17614700.html)**
**【异或和性质，欧拉通路，欧拉回路，点权与度数的关系】**


[$POJ$ $2513$ $Colored$ $Sticks$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17610931.html)
**【无向图欧拉路判定，字符串$HASH$,$Trie$树，并查集】**

**[$HDU$ $3018$ $Ant$ $Trip$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17611260.html)**
**【需要几笔画完，多个连通分量，奇数度节点个数$>0$:奇数度节点个数/$2?1$】**


**[$hihoCoder$ $1182$ 欧拉路·三](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17611667.html)**
**【兹鼓欧拉回路】**

**[$POJ$ $1392$ $Ouroboros$ $Snake$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17613418.html)**
**【兹鼓欧拉回路,$2$进制】**

**[$POJ$ $1780$ $Code$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17613781.html)**
**【兹鼓欧拉回路,$10$进制,循环模拟$dfs$,手工栈】**

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### $TODO$ 三轮待刷
**[$POJ1637$ $Sightseeing$ $tour$](http://poj.org/problem?id=1637)**
**【网络流，此题已超过目前我的知识范围，暂不学习】**

【题 3】CodeForces 36E - Two Paths
【题 4】CodeForces 209C - Trails and Glades
【题 5】洛谷 P5921 - [POI1999] 原始生物
【题 6】CodeForces 547D - Mike and Fish
【题 7】洛谷 P6628 - [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路
 https://www.cnblogs.com/milmon/p/16586142.html

#### 代码模板
```cpp {.line-numbers}
// 记录边的dfs,要注意记录边和记录点的差别
void dfs(int u) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = h[u]) {
        h[u] = ne[i];
        dfs(e[i]);
        res[++rl] = w[i];
    }
}

int getStart() {
    int st = 0, a = 0, b = 0, c = 0;
    for (int i = 0; i < 26; i++) {              // 枚举每个有效节点,每道题的具体实现可能有差异
        if (dout[i] != din[i]) a++;             // 出度与入度不一致的数量
        if (dout[i] == din[i] + 1) b++, st = i; // 起点数量，记录起点
        if (dout[i] == din[i] - 1) c++;         // 终点数量
    }
    if (a && (b != 1 || c != 1)) return -1; // 如果有不一致的，并且不是1个，则没有欧拉路径
    // 如果是一个环，也是存在欧拉路径的，但所有点的入度和出度一致，st不会被改写，需要再手找出起点。
    while (!dout[st]) st++;
    return st;
}
```