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##[$AcWing$ $1304$. 佳佳的斐波那契](https://www.acwing.com/problem/content/1306/)
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### 一、题目描述
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佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。
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在研究完 $Fibonacci$ 数列后，她创造出许多稀奇古怪的数列。
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例如用 $S(n)$ 表示 $Fibonacci$ 前 $n$ 项和 $mod\ m$ 的值，即 $S(n)=(F_1+F_2+…+F_n)\ mod\ m$，其中 $F_1=F_2=1,F_i=F_{i−1}+F_{i−2}$。
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可这对佳佳来说还是小菜一碟。
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终于，她找到了一个自己解决不了的问题。
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用 $T(n)=(F_1+2F_2+3F_3+…+nF_n)\ mod\ m$ 表示 $Fibonacci$ 数列前 $n$ 项变形后的和 $mod\ m$ 的值。
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现在佳佳告诉你了一个 $n$ 和 $m$，请求出 $T(n)$ 的值。
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**输入格式**
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共一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$。
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**输出格式**
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共一行，输出 $T(n)$ 的值。
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**数据范围**
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$1≤n,m≤2^{31}−1$
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**输入样例**：
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$5$ $5$
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**输出样例**：
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$1$
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**样例解释**
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$T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)\ mod\ 5=1$
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### 二、推导过程
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$$\because S_n=F_1+F_2+⋯+F_n=\sum_{i=1}^{n}F_i \\
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T_n=F_1+2*F_2+...+nF_n=\sum_{i=1}^{n}iF_i$$
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我们需要利用$T_n$构造新的数列，从而消去变量$i$，最后再反解出$T_n$：
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$$\therefore nS_n-T_n=(n-1)F_1+(n-2)F_2+...+F_{n-1}$$
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令$C_n=nS_n-T_n$
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$$\therefore C_n=(n-1)F_1+(n-2)F_2+...+F_{n-1} \ ①$$
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$$C_{n+1}=nF_1+(n-1)F_2+...+F_{n} \ ② $$
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② 式 - ① 式
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$$C_{n+1}-C_n=F_1+F_2+F_3+...+F_n=S_n$$
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于是我们只需维护如下矩阵即可
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$$
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\begin{pmatrix}
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f_{n+1} & f_n & s_n & c_n
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\end{pmatrix}
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$$
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有如下等式:
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$$
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\begin{pmatrix}
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f_{n+1} & f_n & s_n & c_n
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\end{pmatrix} \times
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\begin{pmatrix}
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1 & 1 & 1 & 0 \\
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1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 1 & 1 \\
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0 & 0 & 0 & 1
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\end{pmatrix}=
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\begin{pmatrix}
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f_{n+2} & f_{n+1} & s_{n+1} & c_{n+1}
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\end{pmatrix}
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$$
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然后直接使用矩阵快速幂便可以求解
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**初始矩阵**
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$$\begin{pmatrix}
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f_{2} & f_{1} & s_{1} & c_{1} \\
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\end{pmatrix} =
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\begin{pmatrix}
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1 & 1 & 1 & 0
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\end{pmatrix}
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$$
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**递推式**
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$$\begin{pmatrix}
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f_{n+1} & f_{n} & s_{n} & c_{n} \\
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\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
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f_{2} & f_{1} & s_{1} & c_{1} \\
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\end{pmatrix} \times
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\begin{pmatrix}
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1 & 1 & 1 & 0 \\
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1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 1 & 1 \\
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0 & 0 & 0 & 1
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\end{pmatrix}^{n-1}
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$$
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**答案**
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$T_n=nS_n-C_n =n\times b[0][2]-b[0][3]$
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### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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const int N = 4;
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int n, mod;
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// 矩阵乘法
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void mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N]) {
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int t[N][N] = {0};
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for (int i = 0; i < N; i++) {
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for (int j = 0; j < N; j++)
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for (int k = 0; k < N; k++)
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t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k] * b[k][j]) % mod) % mod;
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}
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memcpy(c, t, sizeof t);
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}
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int main() {
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int b[N][N] = {1, 1, 1, 0};
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int m[N][N] = {
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{1, 1, 1, 0},
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{1, 0, 0, 0},
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{0, 0, 1, 1},
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{0, 0, 0, 1}};
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cin >> n >> mod;
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for (int i = n - 1; i; i >>= 1) {
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if (i & 1) mul(b, m, b);
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mul(m, m, m);
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}
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int t = (n * b[0][2]) - b[0][3];
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t = (t % mod + mod) % mod;
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printf("%lld\n", t);
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return 0;
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}
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```
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