python/TangDou/AcWing/NumberTheory/逆元/费马小定理+扩展欧几里得求逆元.md

## 思路

### 一、前置知识

#### 1、什么是逆元

#### 2、为什么要创造逆元的概念


### 二、乘法逆元
$A$除以一个数模$P$，等于$A$乘以这个数的乘法逆元模$P$。

$(A/B)\% 9937 = (A*B^{-1}) \%9973$. 这里的$B^{-1}$ 代表乘法逆元,而不是$\frac{1}{B}$.

所以我们只需要求解出$B$对于$9973$的 <font color='red'><b>乘法逆元$B^{-1}$</b></font> 即可。


### 三、解法一：费马小定理求解乘法逆元
<font color='red'><b>只适用于模数为质数的情况</b></font>

若$a$是一个整数(除法分母)，$b$是一个质数(模)，那么 $a^b ≡ a(mod \ b)$ 或 $a^{b-1}≡1 (mod\  b)$

由扩展欧几里得可以得出：
因为$gcd(a,b) = 1, ax ≡ 1(mod \ b)$ $x$是**乘法逆元**

$a^{b-1} = a*a^{b-2}= ax ≡1(mod \ b)$. 所以 $x = a^{b-2}$就是乘法逆元。 可以通过快速幂求解。
在本题求$x = a^{9973-2}$。

```c++
// https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/HDU-1576
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
/*
测试用例
2
1000 53
87 123456789

答案
7922
6060

总结：
1、如果使用费马小定理+快速幂求逆元，一定要注意使用LL，防止爆int。
*/
const int MOD = 9973;

LL qmi(LL a, LL k, LL p) {
    LL res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = res * a % p; //如果res是int,可能会越界
        k >>= 1;
        a = a * a % p; //如果a是int, 可能会越界
    }
    return res;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        LL a, b;
        cin >> a >> b;
        LL x;
        x = qmi(b, MOD - 2, MOD); // b理解为分母,同余MOD的逆元,变除法为乘法
        LL res = a * x % MOD;     // a* b在模MOD下的逆元 x
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}
```

### 四、解法二：扩展欧几里得
<font color='red'><b>根据 扩展欧几里得 : 模数可以 不为质数</b></font>

因为$gcd(B,9973) = 1$，所以 $Bx ≡ 1(mod \ 9973)$, $x$ 是 $B^{-1}$，也就是$B$的乘法逆元
通过`ex_gcd(B,9973)`求出来的`x`就是$B^{-1}$,因为求出来的$x$可能是负数,利用通解所以处理一下
```C++
x = (x % t + t) % t;
```

实现代码
```c++
// https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/HDU-1576
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
/*
测试用例
2
1000 53
87 123456789

答案
7922
6060
*/
using namespace std;
const int MOD = 9973;

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        LL x, y;
        LL a, b;
        cin >> a >> b;
        exgcd(b, MOD, x, y);
        x = (x % MOD + MOD) % MOD; //对比使用费马小定理，这里对于扩展欧几里得算出的逆元，还需要进一步模一下 MOD才行，否则可能是负的
        cout << (x * a) % MOD << endl;
    }
    return 0;
}
```