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https://blog.csdn.net/sleepiest/article/details/81865741
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这个不看懂，没法看
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https://www.luogu.com.cn/blog/blue/kuo-zhan-zhong-guo-sheng-yu-ding-li
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### 1 导语
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同余方程组，是形如
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$$\large x \equiv x_1 (mod \ \ p_1 ) \\
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\large x \equiv x_2 (mod \ \ p_2 ) \\
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\large ... \\
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\large x \equiv x_n (mod \ \ p_n )$$
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的方程组。
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当$\large p_1,p_2,...,p_n$两两互质的时候，我们可以使用中国剩余定理。但如果他们不互质呢？
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### 2 裴蜀定理与扩展欧几里得算法
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这里先介绍一下**裴蜀定理与扩展欧几里得算法**作为**铺垫**。
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裴蜀定理：对于不完全为 的非负整数 ， 表示 的最大公约数。则必然存在整数对 ，使得
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$$\large (a,b)=ax+by$$
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具体证明略。
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扩展欧几里得算法则是对这个方程求解的算法。
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### 3 合并同余方程组
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比如我们先合并前两个方程。
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$$\large x \equiv x_1 (mod \ \ p_1 ) \\ \large x \equiv x_2 (mod \ \ p_2 )$$
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根据余数的定义，我们可以将方程改写为
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$$\large x=x_1 \times k_1 +p_1 \ \ (1) \\
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x=x_2 \times k_2 +p_2 \ \ (2)
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$$
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合并$(1),(2)$得：
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$$\large x_1*k_1-x_2*k_2=p_2-p_1 \ \ (3) $$
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这是一个关于$k_1，k_2$的不定方程，当$\large (p_2—p_1)\% gcd(x_1，x_2)=0$时有解。
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当有解时，用扩展欧几里得可求得 $k_{1}$ 的一个特解，设为 $k^{'}$ ，
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那么 $k_{1}$ 的通解为：$\large k_{1} = k^{'}+ t * (x_{2} / gcd(x_{1},x_{2}))$
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将 $k_{1}$ 代回到式$1$中可得：
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$$\large x_1*(k^{'}+t*(x_2/gcd(x_1,x_2)))+p_1=x \\
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\Rightarrow \\
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\large x_1*x_2 /gcd(x_1,x_2)*t+x_1*k^{'}+p_1= x $$
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可以发现：$\large x_{1} *x_{2} / gcd(x_{1},x_{2})$是$x_{1} ,x_{2}$ 的最小公倍数，可以转换表示为 $[x_{1}，x_{2}]$
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$$\large [x_1,x_2]*t+x_1*k^{'}+p_1=x $$
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所以合并式$(1)，(2)$两个同余组，变为：
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$$\large x ≡ x_{1} * k^{'} + p_{1} (mod [x_{1}，x_{2}])$$
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$\large x_{1}， p_{1}$ 都是已知的，只需求某个特解 $\large k^{'}$ 和 $\large [x_{1}，x_{2}]$ 即可。
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### 4 举个栗子
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$$ \large
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\left\{\begin{matrix}
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x \equiv 2(mod \ 4) \\
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x \equiv 4(mod \ 6) \\
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\end{matrix}\right. \Rightarrow x \equiv 10 (mod \ 12)
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$$
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由$(1)$式，手动模拟一些$x$,得：$6,$**10**$,14,18,$**22**$,26,30,$**34**$,38,42,$**46**$...$
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由$(2)$式，手动模拟一些$x$,得：**10**$,16,$**22**$,28,$**34**$,40,$**46**$,...$
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可以发现，这两个式子要想得到的公共解，其实是一组解，它们是：$\large 10,22,34,46,...$
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找一下规律，就是从$\large 10$开始，循环节为$\large 12$，也就是原来两个模数$\large p_1,p_2$的$\large [p_1,p_2]$。
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