'commit'
This commit is contained in:
HuangHai
45
数学课程/.vscode/.clang-format
vendored
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45
数学课程/.vscode/.clang-format
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
---
|
||||
BasedOnStyle: LLVM
|
||||
---
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||||
Language: Cpp
|
||||
AccessModifierOffset: -4
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||||
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||||
BreakBeforeBraces: Attach
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||||
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||||
# 对齐连续的尾随的注释
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||||
AlignTrailingComments: true
|
||||
AllowAllConstructorInitializersOnNextLine: false
|
||||
# 允许短的块放在同一行
|
||||
AllowShortBlocksOnASingleLine: true
|
||||
# 允许短的case标签放在同一行
|
||||
AllowShortCaseLabelsOnASingleLine: false
|
||||
# 允许短的函数放在同一行: None, InlineOnly(定义在类中), Empty(空函数), Inline(定义在类中，空函数), All
|
||||
AllowShortFunctionsOnASingleLine: Empty
|
||||
# 允许短的lambda放在同一行
|
||||
AllowShortLambdasOnASingleLine: Empty
|
||||
# 允许短的if语句保持在同一行
|
||||
AllowShortIfStatementsOnASingleLine: true
|
||||
# 允许短的循环保持在同一行
|
||||
AllowShortLoopsOnASingleLine: true
|
||||
AlwaysBreakBeforeMultilineStrings: false
|
||||
BraceWrapping:
|
||||
AfterClass: true
|
||||
AfterControlStatement: Always
|
||||
AfterEnum: true
|
||||
AfterFunction: true
|
||||
AfterStruct: true
|
||||
AfterUnion: true
|
||||
AfterExternBlock: true
|
||||
BeforeCatch: true
|
||||
BeforeElse: true
|
||||
|
||||
CommentPragmas: "^ NOLINT:"
|
||||
IndentWidth: 4
|
||||
PointerAlignment: Right
|
||||
SortIncludes: false
|
||||
SortUsingDeclarations: false
|
||||
|
||||
SpacesBeforeTrailingComments: 1
|
||||
SpacesInContainerLiterals: false
|
||||
Standard: Cpp11
|
||||
TabWidth: 4
|
||||
25
数学课程/.vscode/c_cpp_properties.json
vendored
Normal file
25
数学课程/.vscode/c_cpp_properties.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,25 @@
|
||||
{
|
||||
"configurations": [
|
||||
{
|
||||
"name": "Win32",
|
||||
"compilerArgs": [
|
||||
"-fexec-charset=GBK"
|
||||
],
|
||||
"includePath": [
|
||||
"${workspaceFolder}/**",
|
||||
"C:/TDM-GCC-64/lib/gcc/x86_64-w64-mingw32/10.3.0/**",
|
||||
"C:/TDM-GCC-64/x86_64-w64-mingw32/include/**"
|
||||
],
|
||||
"defines": [
|
||||
"_DEBUG",
|
||||
"UNICODE",
|
||||
"_UNICODE"
|
||||
],
|
||||
"compilerPath": "C:/TDM-GCC-64/bin/gcc.exe",
|
||||
"cStandard": "c11",
|
||||
"cppStandard": "c++17",
|
||||
"intelliSenseMode": "gcc-x64"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"version": 4
|
||||
}
|
||||
5
数学课程/.vscode/extensions.json
vendored
Normal file
5
数学课程/.vscode/extensions.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,5 @@
|
||||
{
|
||||
"recommendations": [
|
||||
"MS-CEINTL.vscode-language-pack-zh-hans"
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
28
数学课程/.vscode/launch.json
vendored
Normal file
28
数学课程/.vscode/launch.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,28 @@
|
||||
// https://github.com/Microsoft/vscode-cpptools/blob/master/launch.md
|
||||
{
|
||||
"version": "0.2.0",
|
||||
"configurations": [
|
||||
{
|
||||
"name": "(gdb) Launch", // 配置名称，将会在启动配置的下拉菜单中显示
|
||||
"type": "cppdbg", // 配置类型，cppdbg对应cpptools提供的调试功能；可以认为此处只能是cppdbg
|
||||
"request": "launch", // 请求配置类型，可以为launch（启动）或attach（附加）
|
||||
"program": "${fileDirname}\\${fileBasenameNoExtension}.exe", // 将要进行调试的程序的路径
|
||||
"args": [], // 程序调试时传递给程序的命令行参数，一般设为空即可
|
||||
"stopAtEntry": false, // 设为true时程序将暂停在程序入口处，相当于在main上打断点
|
||||
"externalConsole": false,
|
||||
"cwd": "${fileDirname}\\", // 调试程序时的工作目录，此为工作区文件夹；改成${fileDirname}可变为文件所在目录
|
||||
"environment": [], // 环境变量
|
||||
"internalConsoleOptions": "neverOpen", // 如果不设为neverOpen，调试时会跳到“调试控制台”选项卡，你应该不需要对gdb手动输命令吧？
|
||||
"MIMode": "gdb", // 指定连接的调试器，可以为gdb或lldb。但我没试过lldb
|
||||
"miDebuggerPath": "gdb.exe", // 调试器路径，Windows下后缀不能省略，Linux下则不要
|
||||
"setupCommands": [
|
||||
{ // 模板自带，好像可以更好地显示STL容器的内容，具体作用自行Google
|
||||
"description": "Enable pretty-printing for gdb",
|
||||
"text": "-enable-pretty-printing",
|
||||
"ignoreFailures": false
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"preLaunchTask": "Compile" // 调试会话开始前执行的任务，一般为编译程序。与tasks.json的label相对应
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
122
数学课程/.vscode/settings.json
vendored
Normal file
122
数学课程/.vscode/settings.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,122 @@
|
||||
{
|
||||
"files.defaultLanguage": "cpp", // ctrl+N新建文件后默认的语言
|
||||
"editor.formatOnType": true, // 输入分号(C/C++的语句结束标识)后自动格式化当前这一行的代码
|
||||
"editor.suggest.snippetsPreventQuickSuggestions": false, // clangd的snippets有很多的跳转点，不用这个就必须手动触发Intellisense了
|
||||
"editor.acceptSuggestionOnEnter": "on", // 我个人的习惯，按回车时一定是真正的换行，只有tab才会接受Intellisense
|
||||
"code-runner.runInTerminal": true, // 设置成false会在“输出”中输出，无法输入
|
||||
"code-runner.saveFileBeforeRun": true, // run code前保存
|
||||
"code-runner.preserveFocus": true, // 若为false，run code后光标会聚焦到终端上。如果需要频繁输入数据可设为false
|
||||
"code-runner.clearPreviousOutput": false, // 每次run code前清空属于code runner的终端消息，默认false
|
||||
"code-runner.ignoreSelection": true, // 默认为false，效果是鼠标选中一块代码后可以单独执行，但C是编译型语言，不适合这样用
|
||||
//配置为使用LLVM进行代码格式化
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||||
"files.autoSave": "afterDelay",
|
||||
"editor.formatOnSave": true,
|
||||
"[cpp]": {
|
||||
"editor.defaultFormatter": "xaver.clang-format"
|
||||
},
|
||||
"[markdown]": {
|
||||
"editor.quickSuggestions": {
|
||||
"other": true,
|
||||
"comments": true,
|
||||
"strings": true
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"files.associations": {
|
||||
"array": "cpp",
|
||||
"atomic": "cpp",
|
||||
"*.tcc": "cpp",
|
||||
"cctype": "cpp",
|
||||
"clocale": "cpp",
|
||||
"cmath": "cpp",
|
||||
"cstdarg": "cpp",
|
||||
"cstddef": "cpp",
|
||||
"cstdint": "cpp",
|
||||
"cstdio": "cpp",
|
||||
"cstdlib": "cpp",
|
||||
"cwchar": "cpp",
|
||||
"cwctype": "cpp",
|
||||
"deque": "cpp",
|
||||
"unordered_map": "cpp",
|
||||
"vector": "cpp",
|
||||
"exception": "cpp",
|
||||
"algorithm": "cpp",
|
||||
"memory": "cpp",
|
||||
"memory_resource": "cpp",
|
||||
"optional": "cpp",
|
||||
"string": "cpp",
|
||||
"string_view": "cpp",
|
||||
"system_error": "cpp",
|
||||
"tuple": "cpp",
|
||||
"type_traits": "cpp",
|
||||
"utility": "cpp",
|
||||
"fstream": "cpp",
|
||||
"initializer_list": "cpp",
|
||||
"iosfwd": "cpp",
|
||||
"iostream": "cpp",
|
||||
"istream": "cpp",
|
||||
"limits": "cpp",
|
||||
"new": "cpp",
|
||||
"ostream": "cpp",
|
||||
"sstream": "cpp",
|
||||
"stdexcept": "cpp",
|
||||
"streambuf": "cpp",
|
||||
"typeinfo": "cpp",
|
||||
"valarray": "cpp",
|
||||
"cassert": "cpp",
|
||||
"cerrno": "cpp",
|
||||
"cfloat": "cpp",
|
||||
"chrono": "cpp",
|
||||
"ciso646": "cpp",
|
||||
"climits": "cpp",
|
||||
"complex": "cpp",
|
||||
"csetjmp": "cpp",
|
||||
"csignal": "cpp",
|
||||
"cstring": "cpp",
|
||||
"ctime": "cpp",
|
||||
"cuchar": "cpp",
|
||||
"numeric": "cpp",
|
||||
"ratio": "cpp",
|
||||
"version": "cpp",
|
||||
"bitset": "cpp",
|
||||
"regex": "cpp",
|
||||
"random": "cpp",
|
||||
"unordered_set": "cpp",
|
||||
"list": "cpp",
|
||||
"any": "cpp",
|
||||
"functional": "cpp",
|
||||
"mutex": "cpp",
|
||||
"shared_mutex": "cpp",
|
||||
"thread": "cpp",
|
||||
"variant": "cpp",
|
||||
"map": "cpp",
|
||||
"scoped_allocator": "cpp",
|
||||
"future": "cpp",
|
||||
"iomanip": "cpp",
|
||||
"forward_list": "cpp",
|
||||
"bit": "cpp",
|
||||
"ccomplex": "cpp",
|
||||
"cfenv": "cpp",
|
||||
"charconv": "cpp",
|
||||
"cinttypes": "cpp",
|
||||
"codecvt": "cpp",
|
||||
"condition_variable": "cpp",
|
||||
"cstdalign": "cpp",
|
||||
"cstdbool": "cpp",
|
||||
"ctgmath": "cpp",
|
||||
"set": "cpp",
|
||||
"iterator": "cpp",
|
||||
"filesystem": "cpp",
|
||||
"ios": "cpp",
|
||||
"locale": "cpp",
|
||||
"queue": "cpp",
|
||||
"stack": "cpp",
|
||||
"typeindex": "cpp",
|
||||
"compare": "cpp",
|
||||
"concepts": "cpp",
|
||||
"coroutine": "cpp",
|
||||
"numbers": "cpp",
|
||||
"ranges": "cpp",
|
||||
"span": "cpp",
|
||||
"stop_token": "cpp"
|
||||
},
|
||||
}
|
||||
40
数学课程/.vscode/tasks.json
vendored
Normal file
40
数学课程/.vscode/tasks.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,40 @@
|
||||
// https://code.visualstudio.com/docs/editor/tasks
|
||||
{
|
||||
"version": "2.0.0",
|
||||
"tasks": [
|
||||
{
|
||||
"label": "Compile", // 任务名称，与launch.json的preLaunchTask相对应
|
||||
"command": "g++", // 要使用的编译器，C++用g++
|
||||
"args": [
|
||||
"${file}",
|
||||
"-o", // 指定输出文件名，不加该参数则默认输出a.exe，Linux下默认a.out
|
||||
"${fileDirname}\\${fileBasenameNoExtension}.exe",
|
||||
"-g", // 生成和调试有关的信息
|
||||
"-Wall", // 开启额外警告
|
||||
"-static-libgcc", // 静态链接libgcc，一般都会加上
|
||||
"-fexec-charset=GBK", // 生成的程序使用GBK编码，不加这一条会导致Win下输出中文乱码
|
||||
"-std=c++14", // C++最新标准为c++17，或根据自己的需要进行修改
|
||||
], // 编译的命令，其实相当于VSC帮你在终端中输了这些东西
|
||||
"type": "process", // process是vsc把预定义变量和转义解析后直接全部传给command；shell相当于先打开shell再输入命令，所以args还会经过shell再解析一遍
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||||
"group": {
|
||||
"kind": "build",
|
||||
"isDefault": true // 不为true时ctrl shift B就要手动选择了
|
||||
},
|
||||
"presentation": {
|
||||
"echo": true,
|
||||
"reveal": "always", // 执行任务时是否跳转到终端面板，可以为always，silent，never。具体参见VSC的文档
|
||||
"focus": false, // 设为true后可以使执行task时焦点聚集在终端，但对编译C/C++来说，设为true没有意义
|
||||
"panel": "shared" // 不同的文件的编译信息共享一个终端面板
|
||||
},
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"label": "commit gitee",
|
||||
"type": "shell",
|
||||
"command": "D:\\python\\一键推拉.cmd",
|
||||
"group": {
|
||||
"kind": "build",
|
||||
"isDefault": true
|
||||
},
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
47
数学课程/12345模型.md
Normal file
47
数学课程/12345模型.md
Normal file
@@ -0,0 +1,47 @@
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||||
|
||||
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||||
**结论**：
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||||
$tan \alpha=\frac{1}{2},tan \beta=\frac{1}{3},\alpha+\beta=45^{\circ}$
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||||
利用结论：
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设$\angle BAE=\angle \alpha,\angle FAD=\angle \beta$
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$\because BE=2,AB=4$
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$\large \therefore \frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=tan \alpha$
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||||
|
||||
双$\because \alpha+ \beta=45^{\circ}$
|
||||
根据结论：$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{3} $
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||||
$\therefore DF=2$
|
||||
|
||||
|
||||
**证明**：
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||||
绘制右侧的图形，$\angle \alpha +\beta=45^{\circ}$
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||||
|
||||
取角分线上任意一点$P$,向$AB,AC$引垂线，构造直角三角形，同时，延长$NP$交$AB$与$M$。
|
||||
|
||||
这样就有了好多个直角三角形，计算起来就容易了：
|
||||
|
||||
$\because tan\alpha=\frac{1}{2}$
|
||||
设$EP=x$,则$AE=2x$
|
||||
|
||||
$\because \angle ANM$是引垂线引出的直角三角形，$\angle NAB=45^{\circ}$
|
||||
|
||||
$\therefore \angle AMN=45^{\circ}$
|
||||
$\therefore EM=EP=x$
|
||||
$PM=\sqrt{2}x,AM=3x$
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||||
|
||||
再利用等腰直角三角形的边长关系，得到
|
||||
|
||||
$AN=MN$
|
||||
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$\because 2 AN^2=(3x)^2$
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||||
$AN=\sqrt{\frac{(3x)^2*2}{2*2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$
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||||
$\therefore PN=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\sqrt{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x$
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|
||||
$\therefore tan \beta=\frac{PN}{AN}=\frac{1}{3}$
|
||||
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||||
**证毕**
|
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数学课程/12345模型.pdf
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数学课程/12345模型.pdf
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1
数学课程/K字模型(一线三等角模型).md
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1
数学课程/K字模型(一线三等角模型).md
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@@ -0,0 +1 @@
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数学课程/K字模型(一线三等角模型).pdf
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数学课程/K字模型(一线三等角模型).pdf
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19
数学课程/【2021四川中考题】双动点隐圆最值问题.md
Normal file
19
数学课程/【2021四川中考题】双动点隐圆最值问题.md
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@@ -0,0 +1,19 @@
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- $AE=CF,\angle ACF=\angle EAB,AB=AC$
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$\therefore \triangle CAF \cong \triangle AEB$
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$\therefore \angle ABE=\angle CAF$
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||||
开始导角：
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$\angle 1=\angle 2,\angle 1+\angle 3=60^{\circ}$
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||||
$\therefore \angle 2+\angle 3=60^{\circ}$
|
||||
$\therefore \angle APB=120^{\circ}$
|
||||
同时知道，此时$AB=6$
|
||||
$\therefore$符合定角定弦规则，画出外接圆，设圆心为$O$
|
||||
|
||||
连接 $OA,OB,OC$
|
||||
因为$\angle APB$一直等于$120^{\circ}$,所以$P$的轨迹一定是按圆的轨迹来运动，当$P$运动到$O,P,C$三点共线时，$CP$最短。
|
||||
|
||||
同时可以证明$\triangle AOC$是直角三角形，且$\angle OCA=30^{\circ}$
|
||||
可求$CP=3\sqrt{3}$
|
||||
49
数学课程/【2021苏州中考压轴题】圆综合+线段的乘积.md
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49
数学课程/【2021苏州中考压轴题】圆综合+线段的乘积.md
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@@ -0,0 +1,49 @@
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### 一、第一问
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||||
$\because$ 圆中同弧所对的圆周角相等
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$\therefore$ $\angle AED=\angle ABD$ ①
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||||
连接$AD$, $\because \angle ADB$是直径$AB$所对的圆周角，$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$
|
||||
又 $\because D$是$BC$中点，所以$\triangle ADB \cong \triangle ADC$
|
||||
$\therefore \angle ABD = \angle ACB$ ②
|
||||
|
||||
联立 ① ②, $\therefore \angle AED=\angle C$
|
||||
|
||||
### 二、第二问
|
||||
$\because \angle AED=55^{\circ}$
|
||||
$\therefore \angle ABC=\angle C=55^{\circ}$
|
||||
$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
|
||||
根据 <font color='blue' size=4><b>圆的内接四边形对角互补</b></font>,$\therefore \angle BDF=110^{\circ}$
|
||||
|
||||
### 三、第三问
|
||||
看到线段乘积，考虑找到相似三角形
|
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$$\large \frac{EG}{?}=\frac{?}{ED}$$
|
||||
考虑$\triangle EAG \sim \triangle EAD$
|
||||
|
||||
如何证明呢？
|
||||
有一个公共角$\angle AED$
|
||||
还需要再找一个角：
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||||
因为$E$是 $\overset{{\frown}}{AB}$ 的中点，
|
||||
$\therefore \angle ADE=\angle BAE$
|
||||
|
||||
$\therefore \triangle EAG \sim \triangle EAD$
|
||||
|
||||
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||||
$$\large \frac{EG}{AE}=\frac{AE}{ED}$$
|
||||
$\Rightarrow$ $EG*ED=AE^2$
|
||||
|
||||
$AE$长度如何求解呢？
|
||||
$\because \angle AFD+\angle ABD=180^{\circ}$
|
||||
$\because \angle AFD+\angle CFD=180^{\circ}$
|
||||
$\therefore \angle ABD=\angle CFD$
|
||||
因为有第一问的结论，所以$\triangle DCF$是等腰三角形，$CD=DF=BD=4$
|
||||
|
||||
$\because cos\angle ABD=\frac{2}{3}$
|
||||
$\large \therefore \frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$
|
||||
$\therefore AB=6$
|
||||
|
||||
$\because \triangle ABE$是等腰直角三角形
|
||||
$\therefore AE=3\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
$\therefore EG*ED=(3\sqrt{2})^2=18$
|
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10
数学课程/【2022内蒙古】压轴真题.md
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10
数学课程/【2022内蒙古】压轴真题.md
Normal file
@@ -0,0 +1,10 @@
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|
||||
- $EB+EF$, 有公共端点的两条线段，想到将军饮马
|
||||
- 在$BA$延长线上截取$AB'=AB$,则问题转化为求$EB'+EF$最小值
|
||||
- 现在面临的问题是$F$也是动点，这时需要考虑题目中给出的其它条件$\angle ADF=\angle DCF$
|
||||
- $\therefore \angle DFC=90^{\circ}$
|
||||
- 动点$F$必然在一个隐藏圆上！
|
||||
- 在圆上求最小值，一般都是找一个三角形，两边之差小于第三边，而两边都是固定值就可以了，所以，有一条边应该是圆的半径，连接$\triangle B'FO$
|
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- $\therefore B'F>=B'O-FO$
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- 求解即可
|
||||
9
数学课程/【2022安徽中考模拟】求单线段最值.md
Normal file
9
数学课程/【2022安徽中考模拟】求单线段最值.md
Normal file
@@ -0,0 +1,9 @@
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||||
- $\because \angle BAP =\angle PBC$
|
||||
$\therefore \angle BAP+\angle ABP=90^{\circ}$
|
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- 隐藏圆出现！因为圆的直径对的圆周角就是直角！
|
||||
画出隐藏圆吧
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- 求$CP$的最小值，就是构建一个包含这条边的一个三角形，比如 $\triangle OPC$,则$CP>=OC-OP$
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- $OP$是定值，则$OC$最短即可
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8
数学课程/【2022山东中考】压轴题动点最值问题.md
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8
数学课程/【2022山东中考】压轴题动点最值问题.md
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- $\triangle ABF \cong \triangle AED$
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- $\therefore \angle 2=\angle BAF$
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- $\because \angle 3+\angle FAB=90^{\circ}$
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- $\therefore \angle 2+\angle 3=90^{\circ}$
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- 画出外接隐藏圆，以$O$为圆心
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||||
- 套路，满满的套路！找出一个三角形吧：$\triangle OGB$!,$BG>=OB-OG$!
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1
数学课程/【2022河北中考】解直角三角形的应用.md
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数学课程/【2022河北中考】解直角三角形的应用.md
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8
数学课程/【2022河南中考题】动点隐藏圆，面积任你玩.md
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数学课程/【2022河南中考题】动点隐藏圆，面积任你玩.md
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- 直角三角形，斜边中线，等于斜边一半 $BG=\frac{1}{2}EF=2$
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- $BG$长度固定，则$G$在以$B$为圆心,长度为$2$的圆上运动
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- 四边形面积最小，可以看成上面的三角形$ACD$是固定值，只要$\triangle AGC$面积最小即可，从$G$向$AC$引垂线，则$S_{\triangle AGC}=\frac{1}{2}AC\times GM$
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||||
- $GM$什么时候最短呢？
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||||
- $GM>=BM-BG>=BH-BG$
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||||
所以求出$BH$即可，按面积相等求解吧
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7
数学课程/【2022辽宁中考】填空压轴题.md
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7
数学课程/【2022辽宁中考】填空压轴题.md
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- 旋转后边长相等
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||||
- 把相等的边放到同一个三角形中，就是等腰三角形
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- $60^{\circ}$的旋转最特殊，可以得到等边三角形
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||||
- 可以得到两条垂直平分线
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||||
- 勾股定理求解即可
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50
数学课程/【一次函数】一次函数和二元一次方程组.md
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数学课程/【一次函数】一次函数和二元一次方程组.md
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@@ -0,0 +1,50 @@
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- 两个函数的交点坐标 = 联立两个表达式得到的方程的解
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- 根据几何办法，求得$B$坐标$(-8,0)$,同时，由于$AB=AO$,在等腰三角形中，根据三线合一的结论，得到$AH\perp BO$,由$AH$为$BO$边中垂线，$BH=HO$,所以$A$点横坐标就是$(-4)$
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||||
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||||
- $A$点的纵坐标呢？根据$S_{\triangle ABO}=12=1/2*AH*BO=4*AH$
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$\therefore AH=3$,$A$点坐标就是$(-4,3)$
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||||
也就是方程
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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y=ax+b & \\
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y=kx & ①
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\end{matrix}\right.
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$$ 的解
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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x=-4 & \\
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y=3 &
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||||
\end{matrix}\right.
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$$
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||||
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现在看看它要问什么:
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$$
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||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
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y-ax-b=2 & \\
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y-kx=2 &
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\end{matrix}\right.
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$$
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把它作一个简单变形：
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||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
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y=ax+b+2 & \\
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y=kx+2 & ②
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||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
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||||
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||||
观察 ① 和 ②,
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有两种思考方法：
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- 视$y-2=ax+b$,$y-2=kx$
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也就是$y-2=3$
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$\therefore$ $x=-4,y=5$
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- **左加右减自变量，上加下减常数项**
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||||
可以认为是方程组向上平移两个单位得到，方程的解就是$x=-4,y=5$
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数学课程/【一次函数】一次函数和二元一次方程组.pdf
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数学课程/【一次函数】一次函数和二元一次方程组.pdf
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数学课程/【一次函数】一次函数对称口诀.md
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数学课程/【一次函数】一次函数对称口诀.md
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数学课程/【一次函数】一次函数对称口诀.pdf
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数学课程/【一次函数】一次函数对称口诀.pdf
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数学课程/【一次函数】一次函数必考超级易错题.md
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数学课程/【一次函数】一次函数必考超级易错题.md
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数学课程/【一次函数】一次函数必考超级易错题.pdf
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数学课程/【一次函数】一次函数恒过定点问题.md
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数学课程/【一次函数】一次函数恒过定点问题.md
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答案：$x=-2$时，此时$k$就无用了，$y=-2-1=-3$
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$\therefore (-2,-3)$
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数学课程/【一次函数】一次函数恒过定点问题.pdf
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数学课程/【中考必刷题】三角形折叠问题.md
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数学课程/【中考必刷题】三角形折叠问题.md
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||||
根据条件，知道$OA=\sqrt{3},OB=1$
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$\therefore AB=2,\angle OAB=30^{\circ},\angle OBA=60^{\circ}$
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### 第一问
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当$A'B \perp OB$时,$A'B=\sqrt{2},OA'=OA=\sqrt{3}$
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$\therefore OB=\sqrt{\sqrt{3}^2=\sqrt{2}^2}=1$
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||||
$\therefore A'(\sqrt{2},1)$
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### 第二问
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$P$是中点，则$OP$是直角三角形$AOB$的斜边中线，
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$\therefore OP=AP=A'P=BP=1$
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$\because \angle OBA=60^{\circ}$
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||||
$\therefore \triangle OPB$是等边三角形
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$\therefore \angle OPB=60^{\circ}$
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$\therefore \angle OPA=120^{\circ}$
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由于翻折，所以$\angle OPA=\angle OPA'$
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$\therefore \angle BPA'=60^{\circ}$
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$\therefore \triangle A'BP$是等边三角形
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||||
$\therefore A'B=1$
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### 第三问
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数学课程/【中考必刷题】真假将军饮马模型问题.md
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数学课程/【中考必刷题】真假将军饮马模型问题.md
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||||
- 乍看似乎是 **有公共端点的最值问题**,这不是将军饮马问题吗？如果这样想，就错了!为什么呢？
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因为将军饮马的模型，解决的是有公共端点的最小值问题，它现在问的是 **最大值**!
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||||
那怎么办呢？因为$M,N,P$三个点都中点，所以可以使用中位线来解决问题:
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- $MN=\frac{1}{2}AC$
|
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- $PN=\frac{1}{2}BD$
|
||||
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||||
因为$A,B,C$都是固定点，只有$D$点是动点，所以$AC$长度是固定的，而$BD$是变化的。
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||||
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||||
$AC$很好求，因为$AC$在等腰三角形$AOC$中，而且$\angle AOC=120^{\circ}$
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||||
所以有结论：$AC=\sqrt{3}\times OA=4\sqrt{3}$
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||||
$\therefore MN=\frac{1}{2}OA=2\sqrt{3}$
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||||
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||||
而预求$PN+MN$最大值，就是求$PN$最大值，也就是求$\frac{1}{2}BD$
|
||||
而$BD$最大值就是圆的直径$PN=\frac{1}{2}BD<=\frac{1}{2}\times 8=4$
|
||||
22
数学课程/【中考必考】巧用辅助线构造相似三角形.md
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数学课程/【中考必考】巧用辅助线构造相似三角形.md
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|
||||
- 看到两条边的乘积，需要考虑相似三角形
|
||||
- $BD \cdot CD=2\sqrt{3}$
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||||
如果这是在两个相似三角形中，那么可能需要延长$AD$,然后截取$DE$,使得$AD\cdot DE=BD \cdot DC$
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$\because \frac{AD}{DC}=\frac{BD}{DE}$
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||||
再加上$\angle BDA=\angle EDC$
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$\therefore \triangle ABD \sim \triangle EDC$
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||||
但是这样，好像离结果也没啥进展，还需要继续思考：
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||||
有一个结论：
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$\angle AEC=\angle ABC=\angle 1$
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<font color='red' size=4><b>母子相似三角形！</b></font>
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$\because \angle 2=\angle 2$
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||||
$\because \angle CBA=\angle 1$
|
||||
$\therefore \angle AEC=\angle 1$
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$\triangle ACD \sim \triangle AEC$
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||||
$\therefore \frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}$
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||||
将数值代入。解得：
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||||
$AC=\sqrt{3}+1$
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3
数学课程/【中考每日一题】手拉手模型拓展.md
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数学课程/【中考每日一题】手拉手模型拓展.md
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数学课程/【中考每日一题】手拉手模型拓展.pdf
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数学课程/【中考每日一题】手拉手模型拓展.pdf
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数学课程/【中考真题】2022新疆隐形圆.md
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数学课程/【中考真题】2022新疆隐形圆.md
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数学课程/【中考真题】手拉手模型、化曲为直求最值(2022河池市).md
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数学课程/【中考真题】手拉手模型、化曲为直求最值(2022河池市).md
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最小值就是$2\sqrt{2}$
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数学课程/【中考真题】相似三角形和三角函数(2022河池市).md
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27
数学课程/【中考真题】相似三角形和三角函数(2022河池市).md
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||||
- 给出离的很远的两条边相等，就是让我们证明两个三角形全等：
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$\because BG=EH,\angle ABG=\angle BEH,AB=BE$
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$\therefore \triangle ABG \cong \triangle BHE$
|
||||
目的：
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$\angle 1=\angle 2,\angle 3=\angle 4$
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$\because \angle 1+\angle 3=90^{\circ},\angle 1=\angle 2 \Rightarrow \angle 2+\angle 3=90^{\circ}$
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$\therefore \angle BOA=90^{\circ}$
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||||
- 这里有一个 **子母型** 的相似直角三角形:
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$\triangle AOB \sim \triangle ABG$
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||||
$\therefore \frac{OB}{OA}=\frac{BG}{AB}=\frac{2}{5}$
|
||||
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||||
因为知道$\triangle NOM$是直角三角形，所以应该是需要继续找出相似的直角三角形。
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||||
利用两个相交的直角，可以有$\angle AOM+\angle 5=\angle AOM+\angle 6$
|
||||
$\therefore \angle 5=\angle 6$
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$\because \angle 7=\angle 3,\angle 8=\angle 4$
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||||
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||||
$\because \angle 3=\angle 4$
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||||
$\therefore \angle 7=\angle 8$
|
||||
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||||
$\therefore \triangle OMB \sim \triangle OAN$
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||||
$\therefore \frac{BM}{AN}=\frac{OB}{OA}=\frac{2}{5}$
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||||
$\therefore BM=\frac{2}{5}*\frac{5}{2}=1$
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||||
$\therefore AM=5-1=4$
|
||||
$\therefore tan \angle AMN=\frac{AN}{AM}=\frac{5}{2} ÷ 4 =\frac{5}{8}$
|
||||
37
数学课程/【二次函数】二次函数与线段交点个数问题.md
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37
数学课程/【二次函数】二次函数与线段交点个数问题.md
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@@ -0,0 +1,37 @@
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||||
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||||
|
||||
#### 第一步：先求与直线相交交点的范围
|
||||
$$
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||||
\left\{\begin{matrix}
|
||||
y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} & \\
|
||||
y=ax^2-x+1 &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
即$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=ax^2-x+1$
|
||||
$ax^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$
|
||||
$\because 有两个交点$
|
||||
$\therefore \triangle>0$
|
||||
即$\frac{9}{4}-2a>0$
|
||||
$\therefore a<\frac{9}{8}$
|
||||
|
||||
#### 第二步：与线段$AB$交点范围
|
||||
- $a>0$
|
||||
开口向上，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是大于直线方程上的$0,1$
|
||||
即 $$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
a+1+1>=0& \\
|
||||
a-1+1>=1&
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
解得$\frac{9}{8}>a>=1$
|
||||
- $a<0$
|
||||
开口向下，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是小于直线方程上的$0,1$
|
||||
即 $$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
a+1+1<=0& \\
|
||||
a-1+1<=1&
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
解得$a<=-2$
|
||||
|
||||
所以答案是两部分$\frac{9}{8}>a>=1$或$a<=-2$
|
||||
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数学课程/【二次函数】二次函数和一元二次方程.md
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21
数学课程/【二次函数】二次函数和一元二次方程.md
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@@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
|
||||
|
||||
#### 数形结合很重要!
|
||||
|
||||
看到是方程时，可以联想到它的方程图形:
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||||
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||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
y=(x-a)(x-b) & \\
|
||||
y=1 &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
分别画出这两个方程的图像，它们的交点就是方程组的解。
|
||||
|
||||
如图可以看出抛物线与直线方程的交点，就是$x_1,x_2$的位置。
|
||||
|
||||
那么$a,b$和$x_1,x_2$是什么关系呢？
|
||||
其实$a,b$就是抛物线与$x$轴的交点坐标！因为此时$x=a,y=0$或$x=b,y=0$,同时由于题目中给出了条件$a<b$,所以最终的答案就是：
|
||||
|
||||
$$\large x_1<a<b<x_2$$
|
||||
25
数学课程/【二次函数】二次函数图像与系数的关系.md
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数学课程/【二次函数】二次函数图像与系数的关系.md
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@@ -0,0 +1,25 @@
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||||
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||||
|
||||
**经验总结**
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||||
- 开口向上 $\Leftrightarrow$ $a>0$
|
||||
- 开口向下 $\Leftrightarrow$ $a<0$
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||||
- $-\frac{b}{2a}$是对称轴
|
||||
- $c$是$x=0$时图像与$y$轴的交点
|
||||
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||||
(1) $abc>0$
|
||||
- 此题开口向上$a>0$
|
||||
- 看对称轴:$-\frac{b}{2a}=-1$
|
||||
$\therefore a 与 b 同号$,即$b>0$
|
||||
- $c$应该是与$y$轴交点，此题中图像与$y$轴交点很显然是小于$0$,所以$abc=++-$，所以乘积是小于$0$的，第一题错误
|
||||
|
||||
(2) 看对称轴:$-\frac{b}{2a}=-1$
|
||||
$\Rightarrow b=2a$正确
|
||||
|
||||
(3)$9a-3b+c$这个需要使用 **赋值法**,令$x=-3$即可，观察图像，$x=-3$时，$y>0$,所以本题**正确**
|
||||
|
||||
(4)$b<a+c$
|
||||
这个也是讨论三个系数之间关系，一样要用到 **赋值法**,令$x=-1$,观察图像，$y<0$,即$ax^2+bx+c<0 \Rightarrow a-b+c<0 \Rightarrow b>a+c$
|
||||
**本题错误**
|
||||
(5)$3a+c>0$
|
||||
此题不是讨论$a,b$，也不讨论$a,b,c$，需要等量代换，就是用$b$和$a$的关系，描述出$b$来，根据上面(2)的结果，我们知道$b=2a$,就是$a+b+c>0$
|
||||
令$x=1$,观察图像$y>0$,也就是$a+b+c>0$,**本题正确**
|
||||
24
数学课程/【二次函数】二次函数最值问题1.md
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24
数学课程/【二次函数】二次函数最值问题1.md
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@@ -0,0 +1,24 @@
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||||
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||||
|
||||
<font color='red' size=4><b>办法：先画函数图像！</b></font>
|
||||
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||||
$$
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||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2} & \\
|
||||
y=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{5}{4} &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
根据这两个数值，就可以确定对称轴和顶点的位置了。
|
||||
|
||||
同时观察到$-\frac{5}{4}\leq y \leq 1$
|
||||
也就是说$y$可以取到最小值，那么就说明$x=-\frac{1}{2}$一定在范围内。
|
||||
|
||||
下面来观察一下$y$的上限$1$,也就是一条横着的直线$y=1$,与抛物线交于两点，坐标的话可以通过方程计算出来,即$1=x^2+x-1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow (x+2)(x-1)=0$
|
||||
即$x=-2或x=1$,也就是两个交点的横坐标是$-2,1$。同时刚才算出的最小值$x=-\frac{1}{2}$也在这个范围内。
|
||||
|
||||
|
||||
$m \leq x \leq m+2$,先算一下$x=-2$
|
||||
|
||||
- $x$的值是$-2$,此时，$m=-2$
|
||||
- $x$的值是$1$,此时，$m=-1$
|
||||
65
数学课程/【二次函数】二次函数最值问题2.md
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65
数学课程/【二次函数】二次函数最值问题2.md
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@@ -0,0 +1,65 @@
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||||
|
||||
|
||||
#### 关键点
|
||||
- 数形结合
|
||||
- 确定对称轴
|
||||
- 对于$a>0,a<0$分类讨论
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||||
- 对结果要验证是不是符合前提条件
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
- $S_{\triangle BMP}$表示为$\frac{1}{2}BM*PH$
|
||||
其中$PH$可以视为$P$的$y$坐标
|
||||
$S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}BM*PH=\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p|$
|
||||
下面来思考$X_M$是什么？
|
||||
$M$是直线$AM$与$X$轴的交点,那$AM$又是啥呢？
|
||||
$AM$是与$AP$垂直的，设$AP$的直线方程为
|
||||
$y=kx+b$,则$b=1$(因为直线$AP$)交$y$轴于$A$点,
|
||||
截距是$1$,同时$P$同时出现在二次函数和直线$x=1$上:
|
||||
将$x=1$代入$y=ax^2-2ax+c=ax^2-2ax+1=a-2a+1$
|
||||
$y=1-a$,所以$P(1,1-a)$
|
||||
所以$AP$的直线方程就是把$A(0,1),P(1,1-a)$代入$y=kx+b$即可求出$k=-a$
|
||||
|
||||
$\because AM$与$AP$垂直，根据:
|
||||
<font color='red' size=4><b>两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1。</b></font>
|
||||
知道：$k_{AM}=\frac{1}{a}$
|
||||
即$y=\frac{1}{a}x+1$就是$AM$的直线方程
|
||||
当$y=0$时解得：$x=-a$,即$M(-a,0)$
|
||||
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||||
---
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||||
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||||
$\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p|$
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||||
=$\frac{1}{2}|2-a||1-a|$
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||||
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||||
分情况讨论解出$a$即可：
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||||
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||||
$$
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||||
\large \left\{\begin{matrix}
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||||
a<1 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\
|
||||
a>2 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\
|
||||
2>a>1 & S=-\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}a-1 \\
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
<font color='red' size=4><b>
|
||||
$a$是不能等于$1$的，因为$a=1$则$P$在$x$轴上，无法组成三角形
|
||||
$a$是不能等于$2$的，因为如果$a=2$那么就和$B$重合了，也无法组成三角形
|
||||
</b></font>
|
||||
|
||||
|
||||
解得$a_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},a_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
|
||||
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||||
----
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||||
第二问：
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||||
由于$S$与$a$的关系是两条抛物线，一个开口向上，一个开口向下，我们计算一下对称轴的位置:
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||||
$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$
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||||
计算一下顶点位置：
|
||||
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
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||||
(1) $4ac-b^2=4*(1/2)*1-(3/2)^2=2-9/4=-1/4$
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||||
$4a=2$
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||||
顶点$y=-1/8$
|
||||
|
||||
(2) 同理求出开口向下抛物线顶点=$\frac{1}{8}$
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||||
因为最高点在$\frac{1}{8}$,而题目要求$S>\frac{1}{8}$,所以这种可能不存在。
|
||||
|
||||
根据图形结合知道，当$a<\frac{3-\sqrt{2}}{2}$或$a>\frac{3+\sqrt{2}}{2}$时是答案
|
||||
10
数学课程/【二次函数】二次函数面积最值【弓形模型秒杀】 .md
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10
数学课程/【二次函数】二次函数面积最值【弓形模型秒杀】 .md
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@@ -0,0 +1,10 @@
|
||||
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||||
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||||
- 弓形模型只能用在填空和选择题上，不能用在大题了，大题上还是老老实实用铅垂法
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||||
- 弓形三角形面积最大时,$X_p$为$(X_A+X_B)/2$，$y$的话将$x$带回二次函数计算即可
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||||
|
||||
以本题为例，先用$x=0,y=0$将三个二次函数与抛物线交点算出坐标
|
||||
$A(-1,0),B(4,0),C(0,2)$
|
||||
然后用弓形法求$X_P=(0+4)/2=2$
|
||||
代入二次函数，计算$y=-\frac{1}{2}*4+3+2=3$
|
||||
即$P(2,3)$
|
||||
25
数学课程/【二次函数】二次函数面积最值【弓形模型证明之平移法】.md
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25
数学课程/【二次函数】二次函数面积最值【弓形模型证明之平移法】.md
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@@ -0,0 +1,25 @@
|
||||
|
||||
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||||
**弓形模型的证明**
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||||
设二次函数为$y=ax^2+bx+c$
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直线方程为$y=kx+m$
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||||
联立两个方程解出$A,B$的中点$X$坐标
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||||
$ax^2+bx+c=kx+m$
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||||
$ax^2+(b-k)x+c-m=0$
|
||||
这里不用真的求出$x1,x2$的值，而是想要求解$\frac{x_1+x_2}{2}$
|
||||
所以利用韦达定理，得到$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b-k}{2a}$
|
||||
|
||||
现在来思考$P$在什么位置情况下，使得$S_{\triangle PAB}$面积最大。
|
||||
|
||||
想要使三角形面积最大，因$AB$所以边长固定，就是要求从$P$向$AB$引出的高最大就是三角形面积最大。
|
||||
将直线$AB$向抛物线外平移，当与抛物线只有一个交点时，为边界位置，再往外走，就与抛物线无关了。
|
||||
设此方程为$y=kx+n$(因为斜率与$y=kx+m$一样，平行关系)
|
||||
根据交点，就是联立两个方程$ax^2+bx+c=kx+n$
|
||||
$ax^2+(b-k)x+c-n=0$
|
||||
此时此方程只有一个交点解，即$\triangle=\sqrt{b^2-4ac}=0$
|
||||
|
||||
$x=\frac{(k-b) \pm \triangle }{2a}=\frac{k-b}{2a}$
|
||||
|
||||
结论：两个值是一样滴，**问题得证**
|
||||
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数学课程/【二次函数】二次函数面积最值【铅垂法】.md
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60
数学课程/【二次函数】二次函数面积最值【铅垂法】.md
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@@ -0,0 +1,60 @@
|
||||
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||||
|
||||
#### 题目解析
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||||
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||||
第一问比较简单，说是用 待定系数法，将已知点坐标代入到二次函数方程和直线方程，然后联立方程组求解即可：
|
||||
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||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
0=-1-b+c & \\
|
||||
3=-4+2b+c &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$\therefore b=2,c=3$
|
||||
即抛物线方程$y=-x^2+2x+3$
|
||||
|
||||
直线方程$y=kx+b $
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
0=-k+b & \\
|
||||
3=2k+b &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
$\therefore b=1,k=1$
|
||||
直线方程就是$y=x+1$
|
||||
|
||||
**直接求出$D$点坐标**
|
||||
|
||||
直接利用 **顶点坐标公式**:
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
x=-\frac{b}{2a} & \\
|
||||
y=\frac{4ac-b^2}{4a} &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
将$a,b$代入即可求出
|
||||
$x=1,y=4$
|
||||
|
||||
**重点是第$2$问**
|
||||
|
||||
在抛物线上的动点求面积最大值，使用的办法是 **铅垂法**
|
||||
|
||||
就是由动点$P$向$x$轴引出一条平行于$y$轴的垂线，与直线$AC$相交，设交点为$M$
|
||||
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||||
$\therefore S_{\triangle PAC}=S_{\triangle PAM}+S_{\triangle PMC} $
|
||||
|
||||
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||||
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||||
- $P$的坐标是设未知数$x=m$,然后通过二次函数获取到的$y=-m^2+2m+3$
|
||||
- $M$的坐标是通过直线方程求出的，将$x=m$代入直线方程，可得$y=m+1$
|
||||
|
||||
$S=\frac{1}{2} PM * (C横坐标 -A横坐标)$
|
||||
$=\frac{1}{2}(-m^2+2m+3-m-1)*(2-(-1))$
|
||||
$=(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}m+1)*3$
|
||||
$=-\frac{3}{2}(m^2-m-2)$
|
||||
$=-\frac{3}{2}(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{8}$ **配方法**
|
||||
$\therefore m=\frac{1}{2}$时，$S$最大，最大值是$\frac{27}{8}$
|
||||
|
||||
最后不要忘记检验，因为题目中说了，动点$P$是在$AC$上方的，所以$M$需要在$-1,2$之间。现在$m=\frac{1}{2}$是在$(-1,2)$之间的，符合要求，答案就是$\frac{27}{8}$
|
||||
12
数学课程/【内切圆】外国中考题.md
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12
数学课程/【内切圆】外国中考题.md
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@@ -0,0 +1,12 @@
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||||
**已知**：
|
||||
长方形，长为$4$ , 宽为$3$。
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||||
**解法：**
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||||
- 因为圆$A$、圆$B$的两条红线都是圆$B$的切线，根据切线的性质，所以红线相等，同理绿线相等。
|
||||
- 设圆的半径为$r$,则绿色的为$3-r$,红色的为$4-r$
|
||||
- 根据勾股定理，得矩形对角线长度=$5$
|
||||
- 同时，知道$5=$红线+绿线=$7-2r -> r=1$
|
||||
|
||||
$\therefore AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
|
||||
5
数学课程/【初一期末必考】双中点模型.md
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5
数学课程/【初一期末必考】双中点模型.md
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@@ -0,0 +1,5 @@
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1
数学课程/【存在性问题.】平行四边形.md
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1
数学课程/【存在性问题.】平行四边形.md
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@@ -0,0 +1 @@
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||||
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||||
68
数学课程/【存在性问题.】直角三角形.md
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68
数学课程/【存在性问题.】直角三角形.md
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@@ -0,0 +1,68 @@
|
||||
|
||||
|
||||
(1) 将三个点代入二次函数，得到一个二元一次方程组，求解即可求出$b,c$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
0=-1-b+c & \\
|
||||
3=-4+2b+c & \\
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
$\therefore a=-1,b=2,c=3,方程：y=-x^2+2x+3$
|
||||
交$y$轴于点$C$,则$x=0,y=3$ $\therefore C坐标(0,3)$
|
||||
$D$点坐标可求:
|
||||
$x_d=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1,y_d=\frac{4ac-b^2}{4a}=4$
|
||||
|
||||
$AB$的直线方程也很好求：
|
||||
$y=kx+b$
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
0=-k+b& \\
|
||||
3=2k+b&
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
$\therefore k=1,b=1,y=x+1$
|
||||
|
||||
---
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||||
**重点是第二问**
|
||||
|
||||
由于没有说明$A,C,M$哪个顶点是直角顶点，需要分类讨论：
|
||||
|
||||
- $A$是直角顶点
|
||||
此时，过$A$点引$AC$的垂线
|
||||
- $C$是直角顶点
|
||||
此时，过$C$点引$AC$的垂线
|
||||
- $M$是直角顶点
|
||||
此时，以$AC$为直径画圆，此圆与$y$轴有两个交点
|
||||
|
||||
#### 几何法
|
||||
1. $AM_1$需要做相似三角形，通过比例关系来求解
|
||||
$\triangle AM_1F \sim \triangle CEA$
|
||||
$\frac{CE}{AF}=\frac{AE}{M_1F}$
|
||||
$1/m=3/2$ $\Rightarrow m=\frac{2}{3}$
|
||||
$\therefore M1(1,-\frac{2}{3})$
|
||||
2. 
|
||||
|
||||
|
||||
#### 代数法
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
- 当$A$为直角顶点时：
|
||||
$AC^2+AM^2=CM^2$
|
||||
$10+t^2+4=t^2-6t+10$
|
||||
$t=-\frac{2}{3}$
|
||||
$\therefore M(1,-\frac{2}{3})$
|
||||
|
||||
- 当$C$为直角顶点时：
|
||||
$AC^2+CM^2=AM^2$
|
||||
$10+t^2-6t+10=t^2+4$
|
||||
$t=\frac{8}{3}$
|
||||
$\therefore M(1,\frac{8}{3})$
|
||||
|
||||
- 当$M$为直角顶点时：
|
||||
$AC^2=AM^2+CM^2$
|
||||
$10=t^2+4+t^2-6t+10$
|
||||
$t^2-3t+2=0$
|
||||
$t=2,t=1$
|
||||
$\therefore M(1,2)$ 或 $M(1,1)$
|
||||
104
数学课程/【存在性问题.】等腰三角形.md
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104
数学课程/【存在性问题.】等腰三角形.md
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@@ -0,0 +1,104 @@
|
||||
|
||||
|
||||
(1)
|
||||
将三个点代入方程，求解方程组
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
0=a(-1)^2-b+c & \\
|
||||
0=9a+3b+c & \\
|
||||
c=-3
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
整理:
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
a-b-3=0 & \\
|
||||
3a+b-1=0 & \\
|
||||
c=-3
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
|
||||
$$ \Rightarrow
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
a=1& \\
|
||||
b=-2& \\
|
||||
c=-3
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
即$y=x^2-2x-3$
|
||||
|
||||
顶点$D$的坐标,根据顶点坐标公式：
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
x=-\frac{b}{2a} & \\
|
||||
y=\frac{4ac-b^2}{4a} &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$ \Rightarrow
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
x=1 & \\
|
||||
y=-4 &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
---
|
||||
**重点是第二问**：
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
因为是等腰三角形的情况共三种，需要分情况讨论：
|
||||
- $AD=AP$ 在以$A$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
|
||||
- $AD=DP$ 在以$D$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
|
||||
- $AP=DP$ 在$AD$垂直平分线与对称轴的交点上
|
||||
|
||||
有两种方法，几何法和代数法，分别来计算一下：
|
||||
|
||||
#### 几何法
|
||||
- $AD=AP$ 时，$P$点坐标就是$D$关于$X$轴的对称点，$P(1,4)$
|
||||
- $AD=DP$ 时，利用勾股定理，可以求解$AD$长度，也就是$DP$长度=$\sqrt{(-1-1)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$,$P_2=({-1,2\sqrt{5}-4})$
|
||||
|
||||
<font color='red' size=4><b>注意</b></font>
|
||||
这里非常容易丢失一组解！也可能是以$D$为圆心的圆与对称轴的下方交点! 即$P_3=(-4-2\sqrt{5})$
|
||||
|
||||
垂直平分线的交点:
|
||||
此时$AP=PD$
|
||||
设 上面一小段为$m$
|
||||
$(4-m)^2=m^2+2^2 \Rightarrow $
|
||||
$16-8m+m^2=m^2+4$
|
||||
$m=\frac{3}{2}$
|
||||
|
||||
$P_4(1,-\frac{3}{2})$
|
||||
#### 代数法
|
||||
|
||||
- 表示点
|
||||
$A(-1,0),D(1,-4),P(1,t)$
|
||||
- 表示边
|
||||
利用两点间距离公式 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
|
||||
分别计算$AD^2,AP^2,DP^2$,就可以免去开根号了
|
||||
|
||||
- 列方程求解
|
||||
$AD^2=4+16=20$
|
||||
$AP^2=4+t^2$
|
||||
$DP^2=(t+4)^2$
|
||||
|
||||
三个方程式分别联立成三个方程组：
|
||||
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
4+t^2=20 & ① \\
|
||||
4+t^2=t^2+8t+16 & ② \\
|
||||
(t+4)^2=20 & ③
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
① $t=4$ (根据题意舍掉$-4$)
|
||||
② $t=-\frac{3}{2}$
|
||||
③ $t=\pm2\sqrt{5}-4$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
36
数学课程/【存在性问题】正方形.md
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36
数学课程/【存在性问题】正方形.md
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@@ -0,0 +1,36 @@
|
||||
|
||||
|
||||
- 如果$AB$是边
|
||||
- 通过$A,B$引$AB$的垂线，再分别截取$AB$的长度，就可以构造正方形。
|
||||
- 因为图中的$P,Q$没有说具体位置，所以$P_1,P_2,P_3,P_4$都可能是答案。
|
||||
- 以$P_1$为例进行计算:
|
||||
通过三角形全等，$P_1(\sqrt{3}+1,\sqrt{3})$
|
||||
其中的三个点，就不用这么麻烦了，利用平移思想就可以得到了：
|
||||
对照$A->P_1$,$B->P_2$,$A$是$+1,+\sqrt{3}$
|
||||
$B$也是$+1,+\sqrt{3}$,即$P_2(1,1+\sqrt{3})$
|
||||
同理$P_3(-1,1-\sqrt{3})$
|
||||
$P_4(\sqrt{3}-1,-\sqrt{3})$
|
||||
- 如果$AB$是对角线
|
||||
|
||||
|
||||
则以$AB$为对角线的正方形必然在图中的圆上。
|
||||
设$P_5$坐标为$(m,n)$，利用全等三角形，知道
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
m=n & \\
|
||||
n-1=\sqrt{3}-m &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
<font color='red' size=4><b>注：上面的板书写错了，是$n-1=\sqrt{3}-m$</b></font>
|
||||
$\therefore m=n=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
|
||||
即$P_5(\frac{\sqrt{3}+1}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2})$
|
||||
|
||||
那$P_6$怎么求呢？
|
||||
还是中线定理：
|
||||
$x+\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\sqrt{3}$
|
||||
$y+\frac{\sqrt{3}+1}{2}=1$
|
||||
|
||||
解得:
|
||||
$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
|
||||
$y=-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
|
||||
22
数学课程/【存在性问题】相似三角形.md
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22
数学课程/【存在性问题】相似三角形.md
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@@ -0,0 +1,22 @@
|
||||
|
||||
|
||||
前两问比较简单，不啰嗦，先预处理出来：
|
||||
$A(-4,0),B(-1,0),C(0,4)$
|
||||
同时，根据勾股定理，知道$AC=4\sqrt{2}$
|
||||
$AB=3$
|
||||
|
||||
现在要找出与$\triangle ABC$相似的三角形$\triangle ACD$,这种题，**一般是有一个相等的角**！
|
||||
仔细观察知道，$\angle BAC=45^{\circ}$
|
||||
$\angle DCA=45^{\circ}$
|
||||
|
||||
所以根据相似三角形的判断定理，知道类似于$SAS$的办法，需要再确定角的两条夹边成比例即可。
|
||||
|
||||
但是，两组夹边可以互相成对成比例，需要讨论：
|
||||
|
||||
因为角的位置固定，所以对应的边$BC$和$AD$是不能用的，其它两组边需要分别配对讨论：
|
||||
两组边为：$(AC,CD),(AC,AB)$
|
||||
|
||||
$① \frac{AC}{AC}=\frac{CD}{AB}$
|
||||
$② \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{AC}$
|
||||
|
||||
根据现有数值，计算可求，但要注意：$D$在$y$轴负半轴，可能需要舍去一组答案。
|
||||
45
数学课程/【存在性问题】矩形.md
Normal file
45
数学课程/【存在性问题】矩形.md
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@@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
|
||||
|
||||
根据直角顶点的不同，应该有三种可能：
|
||||
|
||||
- $A$ 线
|
||||
$\triangle ABH_1 \sim AOP$
|
||||
$4:(1-(-1))=1:OP_1$
|
||||
$OP_1=\frac{1}{2}$
|
||||
$\therefore P_1(0,-\frac{1}{2})$
|
||||
因为直角三角形是平行四边形，可以使用对角线的相关定理，$Q_x-1=1+0$
|
||||
$\therefore Q_x=2$
|
||||
$4+(-\frac{1}{2})=0+Q_y$
|
||||
$\therefore Q_Y=\frac{7}{2}$
|
||||
|
||||
- $B$ 线
|
||||
同理，$\triangle P_2H_2B \sim \triangle ABH_1$
|
||||
根据比例关系，$P_2(0,\frac{9}{2})$
|
||||
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||||
$$
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||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
0-1=1+x & \\
|
||||
\frac{9}{2}=4+y &
|
||||
\end{matrix}\right. $$
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||||
|
||||
解得:
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||||
$x=-2,y=\frac{1}{2}$
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||||
- $C$ 圆
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先计算$A$B的距离=$\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$
|
||||
半径就是$\sqrt{5}$
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||||
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||||
直线方程$y=kx+b,A(-1,0),B(1,4)$
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||||
$$
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||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
-k+b=0 & \\
|
||||
k+b=4 &
|
||||
\end{matrix}\right. $$
|
||||
$\therefore b=2,k=2$
|
||||
方程$y=2x+2$
|
||||
$N$点坐标可求：$N(0,2)$
|
||||
|
||||
$\therefore P_3(0,2+\sqrt{5}),P_4(0,2-\sqrt{5})$
|
||||
|
||||
此时发现，正好这两个点是矩形的另外两个坐标点，即$Q_1(0,2+\sqrt{5}),Q_2(0,2-\sqrt{5})$
|
||||
112
数学课程/【存在性问题】菱形.md
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112
数学课程/【存在性问题】菱形.md
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@@ -0,0 +1,112 @@
|
||||
|
||||
|
||||
(1) 将两点代入方程求解方程组即可:
|
||||
|
||||
$$ \left\{\begin{matrix}
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-4=(-3)^2-3b+c & \\
|
||||
-1=c &
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||||
\end{matrix}\right.
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||||
$$
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||||
|
||||
$\therefore b=4,c=-1,$**二次函数方程**:$y=x^2+4x-1$
|
||||
|
||||
下面来求一下直线方程:
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||||
$y=kx+b$
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
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||||
-4=k(-3)+b & \\
|
||||
-1=b &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
解得:$k=1,b=-1$,**直线方程**$y=x-1$
|
||||
|
||||
(2)**铅垂法+二次方程求顶点+校验**
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||||
由动点$P$向$x$轴引一条平等于$y$轴的直线，交$AB$于$M$,则$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle APM}+S_{\triangle BPM}$
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||||
|
||||
- $P$的坐标是设未知数$x=m$,然后通过二次函数获取到的$y=m^2+4m-1$
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||||
- $M$的坐标是通过直线方程求出的，将$x=m$代入直线方程，可得$y=m-1$
|
||||
|
||||
$S=\frac{1}{2} PM * (A横坐标 -B横坐标)$
|
||||
$=\frac{1}{2}(m-1-(m^2+4m-1))*(0-(-3))$
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||||
$=-\frac{3}{2}m^2-\frac{9}{2}m$
|
||||
|
||||
$\because -\frac{3}{2}<0$，同一个开口向下的抛物线，所以函数有最大值，最大值在顶点，
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||||
$X=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{9}{2}}{-3}$
|
||||
解得$X=-\frac{3}{2}$时，取得最大值，最大值
|
||||
$=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-\frac{81}{4}}{-6}=\frac{81}{24}=\frac{27}{8}$
|
||||
|
||||
(3) **前导知识:抛物线平移**
|
||||
填空题：
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||||
将抛物线$y=-x^2$向右平移一个单位，所得函数解析式为( $y=-(x-1)^2$ )
|
||||
|
||||
分析：直接根据 **左加右减** 的原则进行解答即可．
|
||||
考点: 二次函数图象与几何变换．
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||||
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||||
所以，右移两个单位，新方程就是$y=(x-2)^2+4(x-2)-1$
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||||
$y=x^2-4x+4+4x-8-1$
|
||||
$y=x^2-5$
|
||||
|
||||
由于点$C$是两个抛物线的交点，所以就是联立两个方程：
|
||||
$$
|
||||
\large \left\{\begin{matrix}
|
||||
y=x^2+4x-1 & \\
|
||||
y=x^2-5 &
|
||||
\end{matrix}\right.
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||||
$$
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||||
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||||
$\therefore C(-1,-4)$
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||||
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||||
- 由于$D$是原抛物线对称轴上一点,所以横坐标已知，为$-2$,纵坐标不知道，设为$t$,则$D(-2,t)$
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||||
- 设$E$点坐标为$(m,n)$
|
||||
|
||||
现在想要知道，是不是存一个菱形$BCDE$
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||||
步骤：
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||||
- 转化为等腰三角形存在性问题确定第三点
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||||
- 根据翻折确定第四点
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<font color='red' size=4><b>解释：因为菱形的四条边都相等，当一条边的两个点确定的时候，只要找出的第三点能够构成等腰三角形，这个点就是菱形的第三点。
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|
||||
另外，只要等腰三角形确定，就可以通过翻折找出对应的菱形。
|
||||
</b></font>
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||||
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||||
$BC$的等腰三角形存在性问题，就是在两圆一线上！
|
||||
另外，$D$点要求在原抛物线的对称轴上，所以图中的蓝色点都是可能的答案。
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||||
|
||||
<font color='red' size=4><b>坑：</b></font>
|
||||
最下方的圆与原抛物线对称轴交点的蓝色点(西瓜视频字里面那个半蓝色的点)需要舍掉，原因是经过验证，此点与$B,C$三点共线，无法组成三角形，不符合要求，舍掉。
|
||||
|
||||
代数法求解坐标：
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||||
(1)确定点坐标，不知道的用变量描述
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||||
(2)等腰就是两条边的欧几里得距离相等，这里直接取平方计算，方便。
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||||
(3)平方两两相等，就可以得到$5$个点的坐标，再通过上面的分析，舍掉最后一个点，得到四个点的坐标
|
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|
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||||
最后一步，开始翻折解决问题：
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因为菱形就是一个平行四边形，有相应的规律：
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||||
**这条对角线的坐标相加，等于，另一条对角线的坐标相加**
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$C(-1,-4),D坐标上面求出了，B(0,-1),E(m,n)$
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$X_D+X_C=X_B+X_E$
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||||
$-2-1=0+m$
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$m=-3$
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$Y_D+Y_C=Y_B+Y_E$
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$-1+\sqrt{6}-4=-1+n$
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||||
$n=-4+\sqrt{6}$
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||||
$\therefore M_1(-3,-4+\sqrt{6})$
|
||||
同理，解得
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||||
$M_2(-3,-4-\sqrt{6})$
|
||||
$M_3(-1,2)$
|
||||
$M_4(1,-3)$
|
||||
26
数学课程/【旋转】旋转之对角互补模型.md
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26
数学课程/【旋转】旋转之对角互补模型.md
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||||
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||||
|
||||
#### 口诀
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||||
<font color='red' size=4><b>等线段，共端点，辅助线，用旋转</b></font>
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||||
**解惑**：
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||||
**$Q:$为什么要用旋转？**
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||||
$A:$旋转后，由于等线段，可以完美边重合，可以构建全等三角形，使得问题转化为同一个三角形中的条件，问题就简化了。
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||||
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||||
如图：
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||||
延长$CB$至$E$，使得$BE=CD$
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||||
$AC=AE,BE=CD,\angle ABE+\angle ABC=180^{\circ}$
|
||||
$\because \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$
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||||
$\therefore \angle ABE=\angle ADC$
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||||
$\therefore \triangle ABE \cong ADC$
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||||
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||||
$\therefore \angle 1=\angle 2,AC=AE$
|
||||
双 $\because \angle 1 +\angle 3=\angle 2+ \angle 3=90^{\circ}$
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||||
$\therefore \triangle ACE$是等腰直角三角形
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||||
而$S_{\triangle ACE}=$四边形面积
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$=\frac{1}{2}AC\cdot AE=18$
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||||
$=\frac{1}{2} AC ^2=18$
|
||||
$\therefore AC=6$
|
||||
|
||||
45
数学课程/【旋转】旋转构造相似三角形.md
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45
数学课程/【旋转】旋转构造相似三角形.md
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||||
### 口诀
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<font color='red' size=4><b>等线段，证全等；没有等线段，证相似</b></font>
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||||
现在没有辅助线的情况下，看不到存在相似三角形，需要考虑如何添加辅助线后能存在相似三角形。
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||||
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||||
$\because \angle 1=\angle 2=30^{\circ}$
|
||||
现在从这个角相等出发，思考如何设计辅助线：
|
||||
$\angle 1=\angle 2 \Rightarrow$
|
||||
$\angle 1 +\angle 3=\angle 2 +\angle 3$
|
||||
$\angle 2+\angle 3=\angle ABC$
|
||||
那$\angle 1+\angle 3$是什么呢？
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||||
应该是三角形的外角吧，我们延长$BD$,则$\angle 4=\angle 1+\angle 3$
|
||||
问题来了，延长到哪里呢？
|
||||
$\angle 4=\angle ABC$,还要构建相似三角形，观察另一个可能能够得到相等的角：$\angle BAC$,
|
||||
$\angle BAC=\angle 1+\angle DAC$
|
||||
只要我们引辅助线$AE$，使得$\angle 5=\angle 1$即可以构造三角形$\triangle ADE\sim \triangle ABC$
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||||
|
||||
$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
|
||||
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||||
变换一下：
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||||
$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$
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||||
结合$\angle 1=\angle 5$
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||||
$\therefore \triangle ABD \sim \triangle ACE$
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||||
|
||||
$AB=4,BD=\sqrt{3}a,CD=a,BC=2a$
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||||
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||||
利用$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$可以计算出
|
||||
$CE=\frac{3}{2}a$
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||||
根据勾股定理可求$DE=\sqrt{(\frac{3}{2}a)^2-a^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$
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||||
再利用第一个相似三角形的条件：
|
||||
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||||
$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
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||||
$\frac{4}{AD}=\frac{2a}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}$
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||||
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||||
解得$AD=\sqrt{5}$
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||||
### 总结
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- 存在角相等，利用外角构建相似三角形
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||||
- 旋转三角形，一转成双
|
||||
- 利用旋转后构造出来的两个相似三角形，反复利用比例关系，再加上勾股定理，可以计算出一些边的边长。
|
||||
30
数学课程/【期末考试】动点综合题,md
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30
数学课程/【期末考试】动点综合题,md
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@@ -0,0 +1,30 @@
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||||
**[前导知识:一线三垂直](https://zhuanlan.zhihu.com/p/346523929)**
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- 第一问是傻子题，不解释
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||||
- $\triangle CPM$和$\triangle APN$面积相等，不好算，但都再加上四边形$MPNB$就好办多了：
|
||||
$\triangle CNB$与$\triangle AMB$面积相等，就好算了，因为这是两个直角三角形！
|
||||
$AB*BM=NB*BC$
|
||||
$5*t=8*(5-t)$
|
||||
$\therefore t=\frac{40}{13}$
|
||||
|
||||
- 重点是第三问：
|
||||
- 我们发现，$t=3$时，$NB=3,AN=5$
|
||||
|
||||
<font color='red' size=4><b>一线三垂直！！</b></font>
|
||||
|
||||
从$N$引直线垂直于$CN$,
|
||||
从$A$引直线垂直于$AB$,
|
||||
两者交于$E$点
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||||
$\triangle AEN \cong \triangle NBC$
|
||||
$\therefore EN=NC$
|
||||
连接$EC$,则 $\triangle ENC$是等腰直角三角形！
|
||||
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||||
$\therefore \angle NCE=45^{\circ}$
|
||||
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||||
同时，可以证明$\triangle AEC \cong \triangle ACM$
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||||
$EC // AM$
|
||||
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||||
$\angle APN =\angle ECN=45^{\circ}$
|
||||
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数学课程/【相似三角形】构造A型或8型相似三角形.md
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44
数学课程/【相似三角形】构造A型或8型相似三角形.md
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@@ -0,0 +1,44 @@
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||||
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||||
|
||||
**模型背景：四条线段两两相交**
|
||||
**方法：过封闭三角形的顶点作其它线的平行线，构造$A$字和$8$字型相似三角形，用比例解题**
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#### 图($1$)
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||||
先找出相似三角形，再通过相似三角形找出比例关系：
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$$
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||||
\left\{\begin{matrix}
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||||
\triangle AEM \sim \triangle ANC & ①
|
||||
\\
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||||
\triangle BNC \sim \triangle BED & ②
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
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||||
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||||
$\because$ $M$是$AC$中点
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||||
$\therefore \frac{AM}{MC}=\frac{AE}{EN}=1:1$
|
||||
|
||||
又 $\because AE=\frac{1}{4}AB$
|
||||
$\therefore AN=BN=2$
|
||||
又 $\because S_{\triangle BNC} \sim S_{\triangle BED}$
|
||||
$\therefore \frac{BC}{CD}=2$
|
||||
|
||||
#### 图($2$)
|
||||
先找出相似三角形，再通过相似三角形找出比例关系：
|
||||
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left\{\begin{matrix}
|
||||
\triangle CFM \cong \triangle AEM & ①
|
||||
\\
|
||||
\triangle CFD \sim \triangle BED & ②
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
|
||||
$\therefore AE=CF=1,BE=3$
|
||||
|
||||
$\therefore \frac{BC}{CD}=2$
|
||||
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||||
#### 图(3)
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||||
请同学自己探索
|
||||
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||||
#### 图(4)
|
||||
请同学自己探索
|
||||
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数学课程/【相似三角形】构造反A或反8型相似三角形.md
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20
数学课程/【相似三角形】构造反A或反8型相似三角形.md
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@@ -0,0 +1,20 @@
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||||
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||||
**注意大招:见$45^{\circ}$想$90^{\circ}$!**
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### 方法1
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引辅助线$CE$,则$\triangle DEC \sim ABD$
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||||
$\triangle ACE$是等腰直角三角形
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||||
根据勾股定理，$AC=17,AE=EC=\frac{17}{\sqrt{2}}$
|
||||
|
||||
设$CD=x$,则根据相似三角形，可得:
|
||||
|
||||
$$\frac{x}{AD}=\frac{EC}{AB}$$
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||||
$\therefore \frac{x}{\sqrt{15^2+(8+x)^2}}=\frac{\frac{17}{\sqrt{2}}}{15}$
|
||||
|
||||
### 方法2
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||||
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||||
|
||||
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||||
<font color='red' size=4><b>个人理解：第二种方法更简单，第一种方法计算太麻烦，不能出现开方、二次！</b></font>
|
||||
22
数学课程/【相似三角形】相似三角形16大模型总结.md
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22
数学课程/【相似三角形】相似三角形16大模型总结.md
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@@ -0,0 +1,22 @@
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31
数学课程/【相似三角形】相似三角形两大模型.md
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31
数学课程/【相似三角形】相似三角形两大模型.md
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||||
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||||
**[前导知识：一线三等角模型](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1690759343287283314&wfr=spider&for=pc)**
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||||
|
||||
**分析题意**：
|
||||
$\because \angle ADC=45^{\circ}+\angle 1$
|
||||
$\because \angle ADC=45^{\circ}+\angle 2$
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||||
$\therefore \angle 1=\angle 2$
|
||||
|
||||
此时，构造相似三角形，通过比例关系解题就是 **关键**
|
||||
因为$\angle 1$在$\triangle EDC$中，同时知道$EC$长度为$\sqrt{5}$,我们需要构造出一个和 $\triangle ABD$相似的三角形，所以过$E$引$EF$交$CD$于$F$,使得$\angle EFD=45^{\circ}$
|
||||
则$\triangle EDF \sim \triangle ABD$
|
||||
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{FD}$
|
||||
$\because DE=\sqrt{2} AD$
|
||||
$\therefore FD=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}*2\sqrt{2}=4$
|
||||
算出$DF$后，下面需要继续求解$FC$,才能算出$CD$的长度。
|
||||
|
||||
继续观察发现，
|
||||
$$
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||||
\left\{\begin{matrix}
|
||||
\angle C=\angle C & \\
|
||||
\angle CFE=135^{\circ} & \\
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||||
\angle CDE=135^{\circ} &
|
||||
\end{matrix}\right.
|
||||
$$
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||||
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||||
$\therefore \triangle CEF \sim \triangle CDE$
|
||||
设$CF=x$
|
||||
$\therefore \frac{x}{CE}=\frac{CE}{CD}$
|
||||
$x^2+4x=5$
|
||||
解方程：$x_1=1,x_2=-5$,因为$x>0$,$x_2=-5$舍掉，最终$x=1$,所以$CD=4+1=5$
|
||||
1
数学课程/【翻折问题】几何变换之翻折问题.md
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1
数学课程/【翻折问题】几何变换之翻折问题.md
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@@ -0,0 +1 @@
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31
数学课程/【翻折问题】角平分线.md
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31
数学课程/【翻折问题】角平分线.md
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@@ -0,0 +1,31 @@
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||||
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||||
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||||
- 设$NF=x$,而且$AN+FD=NF$,所以$AD=BC=2x$
|
||||
- 对角线常见的辅助线引法，有$NH \perp BF$
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||||
得到全等三角形$\triangle ANB \cong \triangle NHB$
|
||||
$\therefore BH=AB=3,NH=AN$
|
||||
|
||||
- $\because \triangle BFE \cong \triangle BEC$
|
||||
$\therefore BF=BC=2x$
|
||||
又$\because BH=AB=3,\therefore HF=2x-3$
|
||||
|
||||
<font color='red' size=4><b>
|
||||
相似三角形之反$A$形：$\triangle FNH \sim FNA$</b></font>
|
||||
|
||||
$\therefore \frac{FN}{FB}=\frac{NH}{AB}=\frac{FH}{AF}$
|
||||
|
||||
$\therefore \frac{x}{2x}=\frac{NH}{3}=\frac{2x-3}{AF}$
|
||||
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||||
$\therefore \frac{1}{2}=\frac{NH}{3}=\frac{2x-3}{AF}$
|
||||
|
||||
$\therefore NH=\frac{3}{2}$
|
||||
$\therefore AN=\frac{3}{2}$
|
||||
|
||||
$\therefore \frac{1}{2}=\frac{2x-3}{\frac{3}{2}+x}$
|
||||
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||||
$\therefore 4x-6=\frac{3}{2}+x$
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||||
$3x=\frac{15}{2}$
|
||||
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||||
$\therefore x=\frac{5}{2}$
|
||||
|
||||
$\therefore BC=2x=5$
|
||||
20
数学课程/【翻折问题】角平分线2.md
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20
数学课程/【翻折问题】角平分线2.md
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@@ -0,0 +1,20 @@
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||||
- 延长$AC$至$D$,使得$AD=AB$
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$\triangle ABP \cong \triangle ADP$
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也就是$\triangle APB$根据$AP$翻折后得到$\triangle APD$
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$\because \angle APB=150^{\circ}$
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$\therefore \angle BPD=60^{\circ}$
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||||
并且$BP=PD$
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$\therefore \triangle PBD$是等边三角形
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$\because \angle PBC=30^{\circ}$
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||||
$\therefore \angle CBD=30^{\circ}$
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||||
$\triangle PBC \cong \triangle BCD$,$SAS$
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||||
$\therefore PC=CD$
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$\therefore \angle CPD=\angle CDP$
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而$\angle PDC=\angle ABP=6^{\circ}$
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$\therefore \angle ACP=2*6^{\circ}=12^{\circ}$
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数学课程/【辅助圆问题】定线定角.md
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数学课程/【辅助圆问题】定线定角.md
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- $\because \angle BAC=100^{\circ},BD=1$
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$\therefore$这是一个定线定角问题，可以使用辅助圆试试，辅助圆一般是这个角和这条边组成三角形的外接圆！
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- 做$\triangle ABD$的外接圆,设交$BC$于$E$点
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- 性质：圆的内接四边形对角互补
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$\therefore \angle BED=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$
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$\therefore \angle BDE=180^{\circ}-20^{\circ}-80^{\circ}=80^{\circ}$
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$\therefore BD=BE=1$
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双$\because \angle BED=\angle BCD+\angle CDE \Rightarrow 80^{\circ}=40^{\circ}+\angle EDC$
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$\therefore \angle EDC=40^{\circ}$
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$\therefore ED=EC=\sqrt{3}-1$
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- 性质：圆周角相等对应的弦相等
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$\therefore AD=DE$
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$\therefore AD=\sqrt{3}-1$
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数学课程/【辅助圆问题】定线定长.md
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数学课程/【辅助圆问题】定线定长.md
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- 因为$C$是定点，$E$是动点，$CE$长度固定，所以$E$一定在以$C$为圆心，以$CE=2$为半径的圆上！
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- 因为$E$在四边形内部，所以不是整个圆，而是一个$\frac{1}{4}$圆。
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- 数形结合解决问题：当$E_0$落在$BC$上时，$\angle ABE$最大， 最大值是$90^{\circ}$
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- 当$BE_1$与$CE_1$垂直时，$BE_1$是圆的切线，此时$\angle ABE$最小
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- 根据三角函数知识知道$E_1C=2, BC=4$
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$\therefore \angle E_1BC=30^{\circ}$
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结论：$60^{\circ}<=\angle ABE <=90^{\circ}$
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数学课程/【辅助圆问题】定高定角.md
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数学课程/【辅助圆问题】定高定角.md
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- 定角：则做$\triangle BAC$的外接圆
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- 既然都有了外接圆，就需要有圆心有半径，设圆心$O$,连接$OA=OB=OC=r$
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- $\because \angle BAC=60^{\circ}$
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$\therefore \angle BOC=120 ^ \circ$
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- 从$O$引$BC$垂线$OE$交$BC$于$E$点
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则$\angle EOC=60 ^{\circ},\angle ECO=30 ^{\circ}$
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$\therefore OE=\frac{1}{2}r,EC=\frac{\sqrt{3}}{2}r$
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$\therefore BC=\sqrt{3}r$
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预求$\triangle ABC$的面积最小值，面积表示为
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$\frac{1}{2} BC \times AD$
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其中$AD$为定高，等于$3$,所以$BC$最小，则面积最小。
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也就是$\sqrt{3}r$最小即可，也就是$r$最小。
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$OA+OE>=AE>=AD$
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$\therefore r+\frac{1}{2}r>=3$
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$\therefore r>=2$
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$\therefore BC>=2\sqrt{3}$
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$S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}$
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数学课程/倍长中线模型.md
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数学课程/倍长中线模型.md
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数学课程/函数平移变换求表达式.md
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数学课程/函数平移变换求表达式.md
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数学课程/函数平移变换求表达式.pdf
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数学课程/函数平移变换求表达式.pdf
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数学课程/动点问题解析.txt
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数学课程/动点问题解析.txt
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https://zhuanlan.zhihu.com/p/634973954
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https://zhuanlan.zhihu.com/p/79108064
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https://www.zhihu.com/tardis/zm/art/350629652?source_id=1005
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https://www.cnblogs.com/HondaHsu/p/14349834.html
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数学课程/半角模型/前10大结论.md
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68
数学课程/半角模型/前10大结论.md
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将$\triangle AFD$ 旋转到$ABF'$,因为$\angle D=90^{\circ}$,所以$F',B,E,C$共线。
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因为是旋转得到$\triangle AF'B$,所以$\triangle AF'B \cong ADF$
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所以$DF=BF',\angle DAF=\angle BAF'$
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双因为$\angle BAE +\angle FAD=45^{\circ}$
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所以$\angle F'AB+\angle BAE=\angle F'AE=45^{\circ}$
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$AF'=AF,\angle F'AE=\angle EAF,AE=AE$ 根据$ASA$，所以$\triangle F'AE \cong \triangle EAF$ ①**证毕**
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$BE+DF=BE+BF'$ 旋转得到
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$BE+BF'=EF$ ②**证毕**
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$EF=EF'=BE+BF'=BE+FD$
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$\therefore C_{\triangle CEF}=CE+CF+EF=CE+CF+BE+FD=BC+CD=2AB$ ③**证毕**
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因为$\triangle AF'E \cong \triangle AEF$
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$\therefore \angle 1=\angle 2$
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$\therefore \triangle BAE \cong EAH$ ⑥**证毕**
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$\therefore \angle 3=\angle 4$
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因此$AE$是$\angle BAH$平分线，④**证毕**
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**求证**：$\angle 5=\angle 7$
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$\because \angle 4+\angle 5=45^{\circ}$
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$\because \angle 3=\angle 4$
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$\therefore \angle 3+ \angle 5=45^{\circ}$
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$\because \angle 7 + \angle 3=90^{\circ}-\angle EAF=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$
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$\therefore \angle 5=\angle 7$
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所以,$AF$是$\angle HAD$平分线，⑤**证毕**
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$\therefore \triangle ADF \cong \triangle AHF$
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⑦ **证毕**
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求证:$MA=MF$
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因为$\angle 1=\angle 2$ 已经证明的全等三角形
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$\angle 1=\angle 8$ 平行边内错角相等
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$\therefore \angle 2=\angle 8$
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$\triangle ANE$是等腰三角形，$AN=NE$ ⑨ **证毕**
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$\because \triangle AHF \cong \triangle ADF$
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$\therefore \angle HFA=\angle 9$
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$\because \angle 9=\angle MAF$ 平行线内错角相等
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$\therefore \angle HFA=\angle MAF$
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所以$\triangle MAF$是一个等腰三角形
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$\therefore MF=MA$ ⑧**证比**
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⑩ 一看就是 $12345$模型了，因为$tan \alpha=\frac{1}{2},\alpha+\beta=45^{\circ}$
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$\therefore tan \beta=\frac{1}{3}$
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**证毕**,忘记怎么证明的时候，回去复习一下 $12345$模型即可。
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数学课程/半角模型/前10大结论.pdf
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数学课程/半角模型/后10大结论.md
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45
数学课程/半角模型/后10大结论.md
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($11$) 四点共圆的条件是：**圆内接四边形的对角互补**
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$\because \angle ABE=\angle AHE=90^{\circ}$
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$\therefore ABEH$四点共圆
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($12$) 同理：$\because \angle AHF= \angle ADF=90^{\circ}$
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$\therefore AHFD$四点共圆
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($13$) 很明显$QD$与$BS$不在同一个三角形中，不太好直接证明两者间的关系，我们采用的办法是旋转法，将$\triangle AQD$旋转到$AQ'B$的形式上。
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因为是旋转，所以$BQ'=QD$,问题得到转化。
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||||
下面来研究一下$Q'B^2+BS^2=QS^2$吗？
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根据以前的证明经验，我们知道$\triangle Q'SA \cong \triangle ASQ$ ($SAS$)
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$\therefore Q'S=QS$
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问题也就转化为让我们证明$\angle Q'BS=90^{\circ}$
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$\angle Q'BS=\angle ABQ'+\angle ABS=\angle ADQ+\angle ABS=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$
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**证毕**
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($14$)性质：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等
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$\angle DBC=\angle EAF=45^{\circ}$
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所以$EBAQ$四点共圆,**证毕**
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($15$) 同$14$,有$\angle EAF=\angle BDC=45^{\circ}$
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所以$ADFS$四点共圆
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($16$) 利用上面$ABEQ$四点共圆的结论，所以弧$AQ$的两个对应角$\angle ABD=\angle AEQ=45^{\circ}$
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而且已知$\angle EAF=45^{\circ}$
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$\therefore \angle AQE=90^{\circ}$
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$\therefore \triangle AEQ$是等腰直角三角形
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**证毕**
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($17$) 根据上面的结论$ASFD$四点共圆,弧$AS$对的两个角$\angle ADS=\angle AFS=45^{\circ}$
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$\therefore \triangle ASF$是等腰直角三角形
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**证毕**
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($18$,$19$)因为有上面$16,17$的结论，所以$\sqrt{2}$倍的结论也是正确的
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($20$)
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**[视频证明](https://www.ixigua.com/6830219667248775687)**
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**今日头条:武老师课堂**
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数学课程/半角模型/后10大结论.pdf
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数学课程/四大函数背景下的比较大小.md
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数学课程/四大函数背景下的比较大小.pdf
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数学课程/基础题/三步法秒解数轴动点问题.md
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数学课程/基础题/三步法秒解数轴动点问题.md
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数学课程/基础题/绝对值问题.md
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数学课程/基础题/绝对值问题.md
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数学课程/将军饮马问题/模型1-2.ggb
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数学课程/将军饮马问题/模型1-2.ggb
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数学课程/将军饮马问题/模型1-2.md
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数学课程/将军饮马问题/模型1-2.md
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### 将军饮马问题
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唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． ”
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诗中隐含着一个有趣的数学问题．
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如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的$A'$点出发，走到河边饮马后再到$B$点宿营．求怎样走才能使总的路程最短。
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#### 模型1
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就是两点之间直线最短，$A,B$在岸的两边，所以从$A$向$B$连一条线段，就是最短长度。
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#### 模型2
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$A,B$在岸的同一边，此时，将$A$关于河（直线）做对称，找到$A'$点，其中$AC=A'C$,所以动点$C$必然在对称点与$B$的连接线与河的交点上。
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**例题：**
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**解题思路**：
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$P$到$A,B$两点的距离和，很自然想到了将军饮马。
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一个三角形面积的关系式，让我们很迷惑，把它翻译一下：
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$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{矩形ABCD}$
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由$P$向$AB$引一条垂线，计为$PH$,
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则有：
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$1/2 \times AB \times PH = 1/3 \times AB \times AD$
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$\therefore PH=2$
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所以，将$A$关于$PH=2$这条直线做对称，找到$A'$
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$AA'=4$,而$AB=5$,所以$A到B$最短距离就可以通过勾股定理计算斜边得到$\sqrt{4*4+5*5}=\sqrt{41}$
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答案：$D$
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数学课程/将军饮马问题/模型10.md
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数学课程/将军饮马问题/模型10.md
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有公共端点的三条线段，方法就是找出两条线段所在三角形做$60^{\circ}$旋转。
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如下图:
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$\because \triangle AB'P' \cong \triangle ABP$
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$\therefore \angle PAP'=60 ^{\circ},AP=AP'$
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$\therefore \triangle AP'P$是等边三角形
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$\therefore AP=PP'$
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问题中要求解的$AP+BP+PC$也就成功转化为
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$$PP'+B'P'+PC$$
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通过图形可知，图中$B'C$就是三点共线时的最小值！
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下面开始求解$B'C$长度。
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求边形一般用勾股定理，构造直角三角形：从$B'$向$BC$边引垂线，交$BC$延长线于$H$。
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$\because \triangle AB'B$是等边三角形
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$AB=B'B=2$ 可以理解为旋转了$60^{\circ}$
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$\because \angle ABB'=60 ^{\circ}$
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$\therefore \angle B'BH=30^{\circ}$
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$\therefore B'H=1,BH=\sqrt{3}$
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$\therefore B'C=\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2+1^2}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$
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复合二次根式 需要用配方法化简：
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$=\sqrt{8+2\sqrt{12}}=\sqrt{\sqrt{6}^2+2\sqrt{12}+\sqrt{2}^2}=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
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27
数学课程/将军饮马问题/模型3.md
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数学课程/将军饮马问题/模型3.md
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### 将军饮马
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#### 模型3
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**本题由1，2升级而来，不再是两静一定，而是两动一定了！！**
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但是很显然，它符合将军饮马问题的基本条件，就是 <font color='red' size=4><b>有公共端点的，两个线段和的最小值</b></font>
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那该怎么做呢？
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答：先不管什么$N$是不是动点,我们直接按模型$2$来做，视$N$为定点。则有关于河$BD$做出对称点$N'$，连接$C \sim N'$,则$CN'$就是答案。
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||||
但问题是$N$是动点，$N'$也是动点，没法求啊~
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我们再来看一下条件，有一个$BD$是角平分线的条件，所以$N$关于角平分线的对称点，**一定** 是在$BA$上！
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问题就进一步转化为 **求$C$到$AB$上某一个点的距离最短**，那不就是垂线段最短吗？
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所以，从$C$引垂线到$AB$，垂足为$H$,求出$HC$就是答案。
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因为知道三角形面积$S_{\triangle ABC}=1/2 \times AB \times CH$
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$18=1/2 \times 12 \times CH$
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$\therefore CH=3$
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22
数学课程/将军饮马问题/模型4.md
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数学课程/将军饮马问题/模型4.md
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- $A$是定点，而$M,N$是动点，一个定点两个动点。
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- 原来的模型$1，2，3$都是求的两个线段的线段和最小值，现在是求三条线段的线段和最小值。
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#### 辅助线
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- 找到$A$关于$BC$的对称点$A_1$,因为$\angle ABC=90^{\circ}$,所以$A,B,A_1$三点共线,同理，作出,$A$关于$EN$的对称点$A_2$,则$A,E,A_2$三点共线。
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经过上面的引入辅助线，$AM+MN+AN$就转化为$A_1M+MN+NA_2$,我们可以很容易得到结论：当$A_1,A_2,M,N$在一条直线上时，$AM+MN+AN$最短。
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那么$A_1A_2$的长度是多少呢？它不在任何一个直角三角形中，不好求。只好构建一个直角三角形，由$A_1$向$AE$引一条垂线$AH$，因为$\angle A_1AA_2=120^{\circ}$,所以$\angle A_1AH=60^{\circ}$,因为$\angle A_1H=90^{\angle}$,所以$\angle AA_1H=30^{\circ}$
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$AB=A_1B=2$,所以 $A_1A=4 \Rightarrow AH=2$
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$\therefore A_1H=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
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$A_1A_2=\sqrt{10^2+12}=4\sqrt{7}$
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**思考题**：似乎题目中给出的$AB=BC,AE=ED$并没有使用得上。从上面的解题过程来看，似乎$C,D$也是可以向上移动的，并不影响最终的四点共线，也就是说:这两个条件真的没用。
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**总结**
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- 求三角形的周长最小值，需要转化为求两点之间线段最短，是哪两个点呢？可以考虑使用两次将军饮马，作两个对称的点。
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- 计算长度，一般只能是给出特殊角度，特殊角度也只能是在直角三角形中求解才行。引导我们想办法构建一个直角三角形解决问题。
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17
数学课程/将军饮马问题/模型5.md
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数学课程/将军饮马问题/模型5.md
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$AF=A'F,ME=EM'$ 所以，问题就变成了求$A'$到$M'$的直线最短距离。
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这里有一个天然的$Rt\triangle A'AM'$
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$OA=3,OM'=OM=3/2$,所以$AM'=9/2$
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下面求$AA'$是多长呢？我们知道$A'$是$A$关于抛物线的对称轴对称的，抛物线的对称轴是$\large x=-\frac{b}{2a}=3$,所以$AA'=6$
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$A'M'=\sqrt{(\frac{9}{2})^2+6^2}=\sqrt{\frac{81+144}{4}}=\frac{15}{2}=7.5$
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#### 扩展阅读
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**[抛物线的对称轴公式](https://iask.sina.com.cn/jxwd/D3oMNMpjIG.html)**
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25
数学课程/将军饮马问题/模型6.md
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数学课程/将军饮马问题/模型6.md
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三个点都是动点，不太好整，我们可以先视其中一个点为定点，然后再想办法继续求解，现在视$D$为定点，从$D$引关于$AB,AC$对称的对称点$D_2,D_1$
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,则$D_1D_2$应该就是最小值，其中$D_1D_2$与$AB,AC$的交点就是$F,E$点。
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现在的问题转化为$D_1D_2$就是最短的，但问题是$D_1D_2$不是唯一的，也没有求解出来答案啊！
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我们继续思考,由于$AB$是$DD_2$的垂直平分线，$AC$是$DD_1$的垂直平分线，所有有$\angle D_2AB=\angle BAD,\angle DAC=\angle CAD_1$
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而 $\angle BAC=45^{\circ}$,所以$\angle D_2AD_1$就是我们梦寐以求的直角三角形！！
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$D_2D_1$就是斜边！！
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$AD_2=AD=AD_1$,所以$\triangle AD_2D_1$是直角等腰三角形。
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现在如果我们能求解出$AD_2$,那么$\sqrt{2}AD_2$就是答案。
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$AD_2$什么时候最短呢？也就是$AD$什么时候最短呢？很显然，就是从$A$做一条$BC$的垂线时最短！引辅助线$AH \perp BC$,$\sqrt{2}AH$就是答案！
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而$\angle ACD=60^{\circ}$,所以$CH=1/2AC=4$
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$\therefore AH=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$
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所以答案：$4\sqrt{3} \times \sqrt{2}=4\sqrt{6}$
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21
数学课程/将军饮马问题/模型7.md
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数学课程/将军饮马问题/模型7.md
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**思路：**
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$C_{APEQ}=AP+PQ+QE+AE$
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此时我们发现$AE$的长度是固定的，$PQ$也是固定的长度=$2$,所以，就是求$AP+QE$的最小值。
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两个线段和的最小值，有点像将军饮马，但这两个线段没有公共端点，所以不能用以前的结论。
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考虑到$PQ$的长度是固定的，可以从$P$向$AD$引出一条$AP$的平行线，交$AD$于$A'$点。
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然后将$E$做一个$BC$的对称点$E'$,这样，$A'E'$就是两点间线段最短，就是最小值。
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但本题没有问题最小值是什么，而是说$BP$等于什么的时候能取得最小值。我们只要能计算出$Q'$的位置，再减$2$就是$BP$的位置了。
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$\because EC=CE'=2$
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$\therefore \angle DE'A'=45^{\circ}$
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$\therefore Q'C=CE'=2$
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$\therefore BQ'=8-2=6$
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$\therefore BP=6-4=2$
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数学课程/将军饮马问题/模型8-9.md
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数学课程/将军饮马问题/模型8-9.md
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**前导知识**
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$P,A,B$三个点之间的关系，是
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- 要么共线
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- 要么不共线
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>共线时
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不能构成一个三角形
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- 如果$P$在$A,B$中间，则$|PA-PB|$就是两条线段的差值
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- 如果$P$在$A,B$的延长线上，则$AB=|PA-PB|$
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>不共线时
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可以构成一个三角形,必须符合三角形的三边关系：$PA+PB>AB>|PA-PB|$
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综上所述，我们知道，**只有在三点共线时，上面的$AB$才可以取到等号**，(不共线时，必然取不到等号)。
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$A,B$都在河一侧，连接$A,B$延长交河于$P$点，则此时
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如果不在同一侧呢？那么也简单，就是对河取一下对称点$A'$,连接$BA'$就行了。
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**本题解析**
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求两条线段的差值最大值,需要两个端点在河的同侧，那么针对$N$关于$BD$做对称点$N'$,因为$ABCD$是正方形，所以$N'$必然落在$AC$上。
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延长$MN'$交$BD$于$P'$,也就是$P$这个动点，走到$P'$这个位置上时，$PN$也就是$P'N'$的长度,$PM$的长度也就是$P'M$的长度，三点共线时，两条线段的差最大，最大值就是$P'M-P'N=MN'$
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$\because BM=6,BC=8$
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$\therefore MC=2$
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$\therefore MN'=2$
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数学课程/手拉手模型/手拉手模型.md
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数学课程/手拉手模型/手拉手模型.md
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① $\triangle BDA \cong \triangle CAE$ $SAS$
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$\therefore CE=BD$
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② 求证: $\angle BOC=60^{\circ}$
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证明：根据上面证明过的全等三角形，所以
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$\angle ABD =\angle ACE$
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设$BD$交$AC$于 $H$
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$\because \angle AHB= \angle CHO$ 对顶角
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$\therefore \angle HOC=60^{\circ}$ 两个三角形中两组角相等，第三组角必然相等
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③ 求证： $AO$是$\angle BOE$的角平分线
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证明：由$A$向$BD$,$CE$引垂线
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$\because \triangle ABD \cong \triangle ACE$
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$\therefore 对应边的垂线段相等 $
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$OA$是两个直角三角形的公共斜边，所以两个直角三角形全等($HL$)
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$\therefore AO$是$\angle BOE$的角平分线
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数学课程/手拉手模型/特殊手拉手模型.md
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数学课程/手拉手模型/特殊手拉手模型.md
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数学课程/排列组合-甲乙不存排头排尾.docx
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数学课程/排列组合-甲乙不存排头排尾.docx
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数学课程/数学教学思想.docx
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数学课程/旋转动角问题.md
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数学课程/旋转动角问题.md
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#### (1) 用已知换未知就是办法
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$\angle AOD = \angle AOB+\angle BOD$
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$=60^{\circ}+\angle BOD$
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$\angle BOC=\angle COD-\angle BOD$
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=$90^{\circ}-\angle BOD$
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$\angle AOD+ \angle BOC=60^{\circ}+90^{\circ}+\angle BOD-\angle BOD=150^{\circ}$
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$\angle BOD-\angle AOC=\angle COD-\angle BOC-(\angle AOB- \angle BOC)=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$
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#### (2)
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$\angle MON=x+y+\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOD)+\angle BOC$
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$=\frac{1}{2}(\angle AOB -\angle BOC+\angle COD-\angle BOC)+\angle BOC$
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$=\frac{1}{2}(90^{\circ}+60^{\circ})=75^{\circ}$
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#### (3)常见的第二种问题，一般会有一个未知数
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提出要求，求解未知数，
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**解决方法：**
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1. 找出目标角
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2. 表示目标角
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3. 根据要求列方程求解
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- 任意时刻旋转的角度都是$3t$
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- $\angle AOB=60^{\circ}$,到$OD$止，$OB$共需走的角度是$120^{\circ}$,也就是，当$t=40$时，走完全程。
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- 重点是表示$\angle BOC$和$\angle MON$,这是 <font color='red' size=4><b> 重难点</b></font>
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$\because \angle AOB=60^{\circ},\angle AOC=90^{\circ}$
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$\therefore \angle BOC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$
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当$OB$开始旋转时，分两种情况：
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- $OB'$在$OC$右侧，此时$\angle B'OC=30^{\circ}-3t$
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- $OB'$在$OC$左侧，此时$\angle B'OC=3t-30^{\circ}$
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- 算一下临界值：$30^{\circ}-3t=0^{\circ}$
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此时$t=10$,表示$10$秒之内，在右侧，等于$10$秒时，与$OC$重合
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- 第二种情况是在$10\sim 40$秒之间,此时 <font color='red' size=4><b>完全符合第二问的答案，即 $OC$在 $\angle AOB$内部！此时，$\angle MON=75^{\circ}$</b></font>
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情况1中$\angle MON$是多大呢？借鉴第二问的思路：
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$\angle MON=x+y-\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOD)-\angle BOC$
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$=\frac{1}{2}(\angle AOB +\angle BOC+\angle COD+\angle BOC)-\angle BOC$
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$=\frac{1}{2}(90^{\circ}+60^{\circ})=75^{\circ}$
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即：两种情况下，都是$\angle MON=75^{\circ}$
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$5(30-3t)=75^{\circ}$
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或
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$5(3t-30)=75^{\circ}$
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解得$t=5$或$t=15$
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依题意，$\angle AOB$在一同旋转，$OB$走多少度，$OA$就走多少度，而$OD$是不动的，所以$180^{\circ}$减去走的角度即可：
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$\angle AOD=180^{\circ}-3*5=165^{\circ}$
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或
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$\angle AOD=180^{\circ}-3*15=135^{\circ}$
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数学课程/旋转动角问题.pdf
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14
数学课程/有理数巧算之裂项相消.md
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数学课程/有理数巧算之裂项相消.md
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答：$\large \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=\frac{2018}{2019}$
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$\because \large \frac{3}{4 \times 7}=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$
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$\therefore \large 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{46}-\frac{1}{56}=\frac{55}{56}$
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**总结：**
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数学课程/朵朵练习题/20230214/1.ggb
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数学课程/朵朵练习题/20230214/2.ggb
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数学课程/朵朵练习题/20230214/2.ggb
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