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数学课程/【二次函数】二次函数与线段交点个数问题.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/596878dbde466c98175c90639617d7fa.png)
+
+#### 第一步：先求与直线相交交点的范围
+$$
+\left\{\begin{matrix}
+y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} & \\ 
+y=ax^2-x+1 & 
+\end{matrix}\right.
+$$
+即$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=ax^2-x+1$
+$ax^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$
+$\because 有两个交点$
+$\therefore \triangle>0$
+即$\frac{9}{4}-2a>0$
+$\therefore a<\frac{9}{8}$
+
+#### 第二步：与线段$AB$交点范围
+- $a>0$
+    开口向上，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是大于直线方程上的$0,1$
+    即 $$
+    \large \left\{\begin{matrix}
+     a+1+1>=0& \\ 
+     a-1+1>=1& 
+    \end{matrix}\right.
+    $$
+    解得$\frac{9}{8}>a>=1$
+- $a<0$
+  开口向下，模拟画出一个与线段$AB$有两个交点的抛物线，发现此抛物线当$x_1=-1,x_2=1$时，对应的$y_1,y_2$肯定是小于直线方程上的$0,1$
+    即 $$
+    \large \left\{\begin{matrix}
+     a+1+1<=0& \\ 
+     a-1+1<=1& 
+    \end{matrix}\right.
+    $$
+    解得$a<=-2$
+
+    所以答案是两部分$\frac{9}{8}>a>=1$或$a<=-2$