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数学课程/【二次函数】二次函数最值问题2.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/989aad29f111195d75bb85e67ddb8b77.png)
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+#### 关键点
+- 数形结合
+- 确定对称轴
+- 对于$a>0,a<0$分类讨论
+- 对结果要验证是不是符合前提条件
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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/6ee36790c15ae4e6bbfc330a923ed749.png)
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+- $S_{\triangle BMP}$表示为$\frac{1}{2}BM*PH$
+  其中$PH$可以视为$P$的$y$坐标
+  $S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}BM*PH=\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p|$
+  下面来思考$X_M$是什么？
+  $M$是直线$AM$与$X$轴的交点,那$AM$又是啥呢？
+  $AM$是与$AP$垂直的，设$AP$的直线方程为
+  $y=kx+b$,则$b=1$(因为直线$AP$)交$y$轴于$A$点,
+  截距是$1$,同时$P$同时出现在二次函数和直线$x=1$上:
+  将$x=1$代入$y=ax^2-2ax+c=ax^2-2ax+1=a-2a+1$
+  $y=1-a$,所以$P(1,1-a)$
+  所以$AP$的直线方程就是把$A(0,1),P(1,1-a)$代入$y=kx+b$即可求出$k=-a$
+
+  $\because AM$与$AP$垂直，根据:
+  <font color='red' size=4><b>两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1。</b></font>
+  知道：$k_{AM}=\frac{1}{a}$
+  即$y=\frac{1}{a}x+1$就是$AM$的直线方程 
+  当$y=0$时解得：$x=-a$,即$M(-a,0)$
+
+---
+
+  $\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p|$
+  =$\frac{1}{2}|2-a||1-a|$
+
+  分情况讨论解出$a$即可：
+
+  $$
+  \large \left\{\begin{matrix}
+  a<1 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\ 
+  a>2 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\
+  2>a>1 & S=-\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}a-1 \\
+  \end{matrix}\right.
+  $$
+
+ <font color='red' size=4><b>
+ $a$是不能等于$1$的，因为$a=1$则$P$在$x$轴上，无法组成三角形
+ $a$是不能等于$2$的，因为如果$a=2$那么就和$B$重合了，也无法组成三角形
+ </b></font>
+
+
+解得$a_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},a_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
+
+---- 
+第二问：
+由于$S$与$a$的关系是两条抛物线，一个开口向上，一个开口向下，我们计算一下对称轴的位置:
+$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$
+计算一下顶点位置：
+$\frac{4ac-b^2}{4a}$
+(1) $4ac-b^2=4*(1/2)*1-(3/2)^2=2-9/4=-1/4$
+$4a=2$
+顶点$y=-1/8$
+
+(2) 同理求出开口向下抛物线顶点=$\frac{1}{8}$
+因为最高点在$\frac{1}{8}$,而题目要求$S>\frac{1}{8}$,所以这种可能不存在。
+
+根据图形结合知道，当$a<\frac{3-\sqrt{2}}{2}$或$a>\frac{3+\sqrt{2}}{2}$时是答案