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数学课程/【存在性问题】矩形.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/393c689f9f4798cf591e5a01a844df2c.png)
+
+根据直角顶点的不同，应该有三种可能：
+
+- $A$ 线
+  $\triangle ABH_1 \sim AOP$
+  $4:(1-(-1))=1:OP_1$
+  $OP_1=\frac{1}{2}$
+  $\therefore P_1(0,-\frac{1}{2})$
+  因为直角三角形是平行四边形，可以使用对角线的相关定理，$Q_x-1=1+0$ 
+  $\therefore Q_x=2$
+$4+(-\frac{1}{2})=0+Q_y$
+$\therefore Q_Y=\frac{7}{2}$
+
+- $B$ 线
+  同理，$\triangle P_2H_2B \sim \triangle ABH_1$
+  根据比例关系，$P_2(0,\frac{9}{2})$
+ 
+ $$
+ \large \left\{\begin{matrix}
+ 0-1=1+x & \\ 
+ \frac{9}{2}=4+y & 
+ \end{matrix}\right. $$
+
+解得:
+$x=-2,y=\frac{1}{2}$
+- $C$ 圆
+
+
+先计算$A$B的距离=$\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$
+半径就是$\sqrt{5}$
+
+直线方程$y=kx+b,A(-1,0),B(1,4)$
+ $$
+ \large \left\{\begin{matrix}
+ -k+b=0 & \\ 
+ k+b=4 & 
+ \end{matrix}\right. $$
+ $\therefore b=2,k=2$
+ 方程$y=2x+2$
+ $N$点坐标可求：$N(0,2)$
+
+ $\therefore P_3(0,2+\sqrt{5}),P_4(0,2-\sqrt{5})$
+
+ 此时发现，正好这两个点是矩形的另外两个坐标点，即$Q_1(0,2+\sqrt{5}),Q_2(0,2-\sqrt{5})$