'commit'

数学课程/【存在性问题.】直角三角形.md

@@ -0,0 +1,68 @@
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/28a879c61842a85b28458c67fa00afc9.png)
+
+(1) 将三个点代入二次函数，得到一个二元一次方程组，求解即可求出$b,c$
+
+$$
+\large \left\{\begin{matrix}
+0=-1-b+c & \\ 
+3=-4+2b+c & \\
+\end{matrix}\right.
+$$
+$\therefore a=-1,b=2,c=3,方程：y=-x^2+2x+3$
+交$y$轴于点$C$,则$x=0,y=3$ $\therefore C坐标(0,3)$
+$D$点坐标可求:
+$x_d=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1,y_d=\frac{4ac-b^2}{4a}=4$
+
+$AB$的直线方程也很好求：
+$y=kx+b$
+$$
+\large \left\{\begin{matrix}
+ 0=-k+b& \\ 
+ 3=2k+b& 
+\end{matrix}\right.
+$$
+$\therefore k=1,b=1,y=x+1$
+
+---
+**重点是第二问**
+
+由于没有说明$A,C,M$哪个顶点是直角顶点，需要分类讨论：
+
+- $A$是直角顶点
+  此时，过$A$点引$AC$的垂线
+- $C$是直角顶点
+  此时，过$C$点引$AC$的垂线
+- $M$是直角顶点
+  此时，以$AC$为直径画圆，此圆与$y$轴有两个交点
+
+#### 几何法
+1. $AM_1$需要做相似三角形，通过比例关系来求解
+    $\triangle AM_1F \sim \triangle CEA$
+    $\frac{CE}{AF}=\frac{AE}{M_1F}$
+    $1/m=3/2$ $\Rightarrow m=\frac{2}{3}$ 
+    $\therefore M1(1,-\frac{2}{3})$
+2. ![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/033522339a7eab82b8a64f7bf4c5bcb5.png)
+
+
+#### 代数法
+
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/a25afe0a6095da3b947907d0a9f97b9e.png)
+
+- 当$A$为直角顶点时：
+$AC^2+AM^2=CM^2$
+$10+t^2+4=t^2-6t+10$
+$t=-\frac{2}{3}$
+$\therefore M(1,-\frac{2}{3})$
+
+- 当$C$为直角顶点时：
+$AC^2+CM^2=AM^2$
+$10+t^2-6t+10=t^2+4$
+$t=\frac{8}{3}$
+$\therefore M(1,\frac{8}{3})$
+
+- 当$M$为直角顶点时：
+$AC^2=AM^2+CM^2$
+$10=t^2+4+t^2-6t+10$
+$t^2-3t+2=0$
+$t=2,t=1$
+$\therefore M(1,2)$ 或 $M(1,1)$