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数学课程/【存在性问题.】等腰三角形.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/7e981407e814d88a0fef62cf8df91407.png)
+
+(1)
+将三个点代入方程，求解方程组
+$$
+\large \left\{\begin{matrix}
+0=a(-1)^2-b+c & \\ 
+0=9a+3b+c & \\
+c=-3 
+\end{matrix}\right.
+$$
+
+整理:
+$$
+\large \left\{\begin{matrix}
+a-b-3=0 & \\ 
+3a+b-1=0 & \\
+c=-3 
+\end{matrix}\right.
+$$
+
+
+$$ \Rightarrow  
+\large \left\{\begin{matrix}
+ a=1& \\ 
+ b=-2& \\
+ c=-3 
+\end{matrix}\right.
+$$
+即$y=x^2-2x-3$
+
+顶点$D$的坐标,根据顶点坐标公式：
+
+$$
+\large \left\{\begin{matrix}
+x=-\frac{b}{2a} & \\ 
+y=\frac{4ac-b^2}{4a} & 
+\end{matrix}\right.
+$$
+
+$$ \Rightarrow  
+\large \left\{\begin{matrix}
+x=1 & \\ 
+y=-4 & 
+\end{matrix}\right.
+$$
+
+---
+**重点是第二问**：
+
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/df9652629e96e1497eefd9d2bd3fab38.png)
+
+因为是等腰三角形的情况共三种，需要分情况讨论：
+- $AD=AP$ 在以$A$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
+- $AD=DP$ 在以$D$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
+- $AP=DP$ 在$AD$垂直平分线与对称轴的交点上
+
+有两种方法，几何法和代数法，分别来计算一下：
+
+#### 几何法
+- $AD=AP$ 时，$P$点坐标就是$D$关于$X$轴的对称点，$P(1,4)$
+- $AD=DP$ 时，利用勾股定理，可以求解$AD$长度，也就是$DP$长度=$\sqrt{(-1-1)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$,$P_2=({-1,2\sqrt{5}-4})$
+
+<font color='red' size=4><b>注意</b></font>
+这里非常容易丢失一组解！也可能是以$D$为圆心的圆与对称轴的下方交点! 即$P_3=(-4-2\sqrt{5})$
+
+垂直平分线的交点:
+此时$AP=PD$
+设 上面一小段为$m$
+$(4-m)^2=m^2+2^2 \Rightarrow  $
+$16-8m+m^2=m^2+4$ 
+$m=\frac{3}{2}$
+
+$P_4(1,-\frac{3}{2})$
+#### 代数法
+
+- 表示点
+  $A(-1,0),D(1,-4),P(1,t)$
+- 表示边
+  利用两点间距离公式 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
+  分别计算$AD^2,AP^2,DP^2$,就可以免去开根号了
+
+- 列方程求解
+  $AD^2=4+16=20$
+  $AP^2=4+t^2$
+  $DP^2=(t+4)^2$
+
+  三个方程式分别联立成三个方程组：
+  
+  
+  $$
+  \large \left\{\begin{matrix}
+  4+t^2=20 & ① \\ 
+  4+t^2=t^2+8t+16 & ② \\
+  (t+4)^2=20  & ③
+  \end{matrix}\right.
+  $$
+
+  ① $t=4$ (根据题意舍掉$-4$)
+  ② $t=-\frac{3}{2}$
+  ③ $t=\pm2\sqrt{5}-4$
+  
+
+