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数学课程/【相似三角形】相似三角形两大模型.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/ddcbaaa0228d328a557782709dfa5409.png)
+
+**[前导知识：一线三等角模型](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1690759343287283314&wfr=spider&for=pc)**
+
+**分析题意**：
+$\because \angle ADC=45^{\circ}+\angle 1$
+$\because \angle ADC=45^{\circ}+\angle 2$
+$\therefore \angle 1=\angle 2$
+
+此时，构造相似三角形，通过比例关系解题就是 **关键**
+因为$\angle 1$在$\triangle EDC$中，同时知道$EC$长度为$\sqrt{5}$,我们需要构造出一个和 $\triangle ABD$相似的三角形，所以过$E$引$EF$交$CD$于$F$,使得$\angle EFD=45^{\circ}$
+则$\triangle EDF \sim \triangle ABD$
+$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{FD}$
+$\because DE=\sqrt{2} AD$ 
+$\therefore FD=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}*2\sqrt{2}=4$
+算出$DF$后，下面需要继续求解$FC$,才能算出$CD$的长度。
+
+继续观察发现，
+$$
+\left\{\begin{matrix}
+\angle C=\angle C & \\ 
+\angle CFE=135^{\circ} & \\
+\angle CDE=135^{\circ} & 
+\end{matrix}\right.
+$$
+
+$\therefore \triangle CEF \sim \triangle CDE$
+设$CF=x$
+$\therefore \frac{x}{CE}=\frac{CE}{CD}$
+$x^2+4x=5$
+解方程：$x_1=1,x_2=-5$,因为$x>0$,$x_2=-5$舍掉，最终$x=1$,所以$CD=4+1=5$