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数学课程/【2021苏州中考压轴题】圆综合+线段的乘积.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/04/d69383cd7619884fef6b4b8252f45292.png)
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+### 一、第一问
+$\because$ 圆中同弧所对的圆周角相等
+$\therefore$ $\angle AED=\angle ABD$ ①
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+连接$AD$, $\because \angle ADB$是直径$AB$所对的圆周角，$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$
+又 $\because D$是$BC$中点，所以$\triangle ADB \cong \triangle ADC$
+$\therefore \angle ABD = \angle ACB$ ②
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+联立 ① ②, $\therefore \angle AED=\angle C$
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+### 二、第二问
+$\because \angle AED=55^{\circ}$
+$\therefore \angle ABC=\angle C=55^{\circ}$
+$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-55^{\circ}-55^{\circ}=70^{\circ}$
+根据 <font color='blue' size=4><b>圆的内接四边形对角互补</b></font>,$\therefore \angle BDF=110^{\circ}$
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+### 三、第三问
+看到线段乘积，考虑找到相似三角形
+$$\large \frac{EG}{?}=\frac{?}{ED}$$
+考虑$\triangle EAG  \sim \triangle EAD$
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+如何证明呢？
+有一个公共角$\angle AED$
+还需要再找一个角：
+因为$E$是 $\overset{{\frown}}{AB}$ 的中点，
+$\therefore \angle ADE=\angle BAE$
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+$\therefore \triangle EAG  \sim \triangle EAD$
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+$$\large \frac{EG}{AE}=\frac{AE}{ED}$$
+$\Rightarrow$ $EG*ED=AE^2$
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+$AE$长度如何求解呢？
+$\because \angle AFD+\angle ABD=180^{\circ}$
+$\because \angle AFD+\angle CFD=180^{\circ}$
+$\therefore \angle ABD=\angle CFD$
+因为有第一问的结论，所以$\triangle DCF$是等腰三角形，$CD=DF=BD=4$
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+$\because cos\angle ABD=\frac{2}{3}$
+$\large \therefore \frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$
+$\therefore AB=6$
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+$\because \triangle ABE$是等腰直角三角形
+$\therefore AE=3\sqrt{2}$
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+$\therefore EG*ED=(3\sqrt{2})^2=18$