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数学课程/将军饮马问题/模型1-2.md
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数学课程/将军饮马问题/模型1-2.md
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### 将军饮马问题
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唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． ”
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诗中隐含着一个有趣的数学问题．
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如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的$A'$点出发，走到河边饮马后再到$B$点宿营．求怎样走才能使总的路程最短。
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#### 模型1
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就是两点之间直线最短，$A,B$在岸的两边，所以从$A$向$B$连一条线段，就是最短长度。
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#### 模型2
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$A,B$在岸的同一边，此时，将$A$关于河（直线）做对称，找到$A'$点，其中$AC=A'C$,所以动点$C$必然在对称点与$B$的连接线与河的交点上。
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**例题：**
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**解题思路**：
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$P$到$A,B$两点的距离和，很自然想到了将军饮马。
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一个三角形面积的关系式，让我们很迷惑，把它翻译一下：
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$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{矩形ABCD}$
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由$P$向$AB$引一条垂线，计为$PH$,
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则有：
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$1/2 \times AB \times PH = 1/3 \times AB \times AD$
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$\therefore PH=2$
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所以，将$A$关于$PH=2$这条直线做对称，找到$A'$
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$AA'=4$,而$AB=5$,所以$A到B$最短距离就可以通过勾股定理计算斜边得到$\sqrt{4*4+5*5}=\sqrt{41}$
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答案：$D$
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数学课程/将军饮马问题/模型10.md
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数学课程/将军饮马问题/模型10.md
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有公共端点的三条线段，方法就是找出两条线段所在三角形做$60^{\circ}$旋转。
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如下图:
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$\because \triangle AB'P' \cong \triangle ABP$
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$\therefore \angle PAP'=60 ^{\circ},AP=AP'$
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$\therefore \triangle AP'P$是等边三角形
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$\therefore AP=PP'$
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问题中要求解的$AP+BP+PC$也就成功转化为
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$$PP'+B'P'+PC$$
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通过图形可知，图中$B'C$就是三点共线时的最小值！
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下面开始求解$B'C$长度。
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求边形一般用勾股定理，构造直角三角形：从$B'$向$BC$边引垂线，交$BC$延长线于$H$。
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$\because \triangle AB'B$是等边三角形
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$AB=B'B=2$ 可以理解为旋转了$60^{\circ}$
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$\because \angle ABB'=60 ^{\circ}$
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$\therefore \angle B'BH=30^{\circ}$
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$\therefore B'H=1,BH=\sqrt{3}$
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$\therefore B'C=\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2+1^2}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$
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复合二次根式 需要用配方法化简：
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$=\sqrt{8+2\sqrt{12}}=\sqrt{\sqrt{6}^2+2\sqrt{12}+\sqrt{2}^2}=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
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数学课程/将军饮马问题/模型3.md
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数学课程/将军饮马问题/模型3.md
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### 将军饮马
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#### 模型3
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**本题由1，2升级而来，不再是两静一定，而是两动一定了！！**
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但是很显然，它符合将军饮马问题的基本条件，就是 <font color='red' size=4><b>有公共端点的，两个线段和的最小值</b></font>
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那该怎么做呢？
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答：先不管什么$N$是不是动点,我们直接按模型$2$来做，视$N$为定点。则有关于河$BD$做出对称点$N'$，连接$C \sim N'$,则$CN'$就是答案。
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但问题是$N$是动点，$N'$也是动点，没法求啊~
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我们再来看一下条件，有一个$BD$是角平分线的条件，所以$N$关于角平分线的对称点，**一定** 是在$BA$上！
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问题就进一步转化为 **求$C$到$AB$上某一个点的距离最短**，那不就是垂线段最短吗？
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所以，从$C$引垂线到$AB$，垂足为$H$,求出$HC$就是答案。
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因为知道三角形面积$S_{\triangle ABC}=1/2 \times AB \times CH$
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$18=1/2 \times 12 \times CH$
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$\therefore CH=3$
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数学课程/将军饮马问题/模型4.md
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- $A$是定点，而$M,N$是动点，一个定点两个动点。
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- 原来的模型$1，2，3$都是求的两个线段的线段和最小值，现在是求三条线段的线段和最小值。
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#### 辅助线
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- 找到$A$关于$BC$的对称点$A_1$,因为$\angle ABC=90^{\circ}$,所以$A,B,A_1$三点共线,同理，作出,$A$关于$EN$的对称点$A_2$,则$A,E,A_2$三点共线。
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经过上面的引入辅助线，$AM+MN+AN$就转化为$A_1M+MN+NA_2$,我们可以很容易得到结论：当$A_1,A_2,M,N$在一条直线上时，$AM+MN+AN$最短。
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那么$A_1A_2$的长度是多少呢？它不在任何一个直角三角形中，不好求。只好构建一个直角三角形，由$A_1$向$AE$引一条垂线$AH$，因为$\angle A_1AA_2=120^{\circ}$,所以$\angle A_1AH=60^{\circ}$,因为$\angle A_1H=90^{\angle}$,所以$\angle AA_1H=30^{\circ}$
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$AB=A_1B=2$,所以 $A_1A=4 \Rightarrow AH=2$
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$\therefore A_1H=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
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$A_1A_2=\sqrt{10^2+12}=4\sqrt{7}$
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**思考题**：似乎题目中给出的$AB=BC,AE=ED$并没有使用得上。从上面的解题过程来看，似乎$C,D$也是可以向上移动的，并不影响最终的四点共线，也就是说:这两个条件真的没用。
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**总结**
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- 求三角形的周长最小值，需要转化为求两点之间线段最短，是哪两个点呢？可以考虑使用两次将军饮马，作两个对称的点。
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- 计算长度，一般只能是给出特殊角度，特殊角度也只能是在直角三角形中求解才行。引导我们想办法构建一个直角三角形解决问题。
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数学课程/将军饮马问题/模型5.md
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$AF=A'F,ME=EM'$ 所以，问题就变成了求$A'$到$M'$的直线最短距离。
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这里有一个天然的$Rt\triangle A'AM'$
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$OA=3,OM'=OM=3/2$,所以$AM'=9/2$
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下面求$AA'$是多长呢？我们知道$A'$是$A$关于抛物线的对称轴对称的，抛物线的对称轴是$\large x=-\frac{b}{2a}=3$,所以$AA'=6$
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$A'M'=\sqrt{(\frac{9}{2})^2+6^2}=\sqrt{\frac{81+144}{4}}=\frac{15}{2}=7.5$
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#### 扩展阅读
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**[抛物线的对称轴公式](https://iask.sina.com.cn/jxwd/D3oMNMpjIG.html)**
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数学课程/将军饮马问题/模型6.md
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三个点都是动点，不太好整，我们可以先视其中一个点为定点，然后再想办法继续求解，现在视$D$为定点，从$D$引关于$AB,AC$对称的对称点$D_2,D_1$
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,则$D_1D_2$应该就是最小值，其中$D_1D_2$与$AB,AC$的交点就是$F,E$点。
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现在的问题转化为$D_1D_2$就是最短的，但问题是$D_1D_2$不是唯一的，也没有求解出来答案啊！
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我们继续思考,由于$AB$是$DD_2$的垂直平分线，$AC$是$DD_1$的垂直平分线，所有有$\angle D_2AB=\angle BAD,\angle DAC=\angle CAD_1$
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而 $\angle BAC=45^{\circ}$,所以$\angle D_2AD_1$就是我们梦寐以求的直角三角形！！
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$D_2D_1$就是斜边！！
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$AD_2=AD=AD_1$,所以$\triangle AD_2D_1$是直角等腰三角形。
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现在如果我们能求解出$AD_2$,那么$\sqrt{2}AD_2$就是答案。
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$AD_2$什么时候最短呢？也就是$AD$什么时候最短呢？很显然，就是从$A$做一条$BC$的垂线时最短！引辅助线$AH \perp BC$,$\sqrt{2}AH$就是答案！
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而$\angle ACD=60^{\circ}$,所以$CH=1/2AC=4$
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$\therefore AH=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$
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所以答案：$4\sqrt{3} \times \sqrt{2}=4\sqrt{6}$
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数学课程/将军饮马问题/模型7.md
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数学课程/将军饮马问题/模型7.md
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**思路：**
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$C_{APEQ}=AP+PQ+QE+AE$
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此时我们发现$AE$的长度是固定的，$PQ$也是固定的长度=$2$,所以，就是求$AP+QE$的最小值。
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两个线段和的最小值，有点像将军饮马，但这两个线段没有公共端点，所以不能用以前的结论。
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考虑到$PQ$的长度是固定的，可以从$P$向$AD$引出一条$AP$的平行线，交$AD$于$A'$点。
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然后将$E$做一个$BC$的对称点$E'$,这样，$A'E'$就是两点间线段最短，就是最小值。
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但本题没有问题最小值是什么，而是说$BP$等于什么的时候能取得最小值。我们只要能计算出$Q'$的位置，再减$2$就是$BP$的位置了。
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$\because EC=CE'=2$
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$\therefore \angle DE'A'=45^{\circ}$
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$\therefore Q'C=CE'=2$
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$\therefore BQ'=8-2=6$
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$\therefore BP=6-4=2$
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数学课程/将军饮马问题/模型8-9.md
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**前导知识**
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$P,A,B$三个点之间的关系，是
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- 要么共线
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- 要么不共线
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>共线时
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不能构成一个三角形
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- 如果$P$在$A,B$中间，则$|PA-PB|$就是两条线段的差值
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- 如果$P$在$A,B$的延长线上，则$AB=|PA-PB|$
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>不共线时
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可以构成一个三角形,必须符合三角形的三边关系：$PA+PB>AB>|PA-PB|$
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综上所述，我们知道，**只有在三点共线时，上面的$AB$才可以取到等号**，(不共线时，必然取不到等号)。
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$A,B$都在河一侧，连接$A,B$延长交河于$P$点，则此时
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如果不在同一侧呢？那么也简单，就是对河取一下对称点$A'$,连接$BA'$就行了。
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**本题解析**
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求两条线段的差值最大值,需要两个端点在河的同侧，那么针对$N$关于$BD$做对称点$N'$,因为$ABCD$是正方形，所以$N'$必然落在$AC$上。
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延长$MN'$交$BD$于$P'$,也就是$P$这个动点，走到$P'$这个位置上时，$PN$也就是$P'N'$的长度,$PM$的长度也就是$P'M$的长度，三点共线时，两条线段的差最大，最大值就是$P'M-P'N=MN'$
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$\because BM=6,BC=8$
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$\therefore MC=2$
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$\therefore MN'=2$
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