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数学课程/将军饮马问题/模型1-2.md

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+###　将军饮马问题
+唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． ”
+诗中隐含着一个有趣的数学问题．
+如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的$A'$点出发，走到河边饮马后再到$B$点宿营．求怎样走才能使总的路程最短。
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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/9d28fbe279f721abb07d9df3da7f8dda.png)
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+#### 模型1
+就是两点之间直线最短，$A,B$在岸的两边，所以从$A$向$B$连一条线段，就是最短长度。
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+#### 模型2
+$A,B$在岸的同一边，此时，将$A$关于河（直线）做对称，找到$A'$点，其中$AC=A'C$,所以动点$C$必然在对称点与$B$的连接线与河的交点上。
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+**例题：**
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/fda592b455e1f18109902957c7ceca53.png)
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+**解题思路**：
+$P$到$A,B$两点的距离和，很自然想到了将军饮马。
+一个三角形面积的关系式，让我们很迷惑，把它翻译一下：
+$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{矩形ABCD}$
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+由$P$向$AB$引一条垂线，计为$PH$,
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/eb2564ee5f0343d6c5a461a56de09272.png)
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+则有：
+$1/2 \times AB \times PH = 1/3 \times AB \times AD$
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+$\therefore PH=2$
+所以，将$A$关于$PH=2$这条直线做对称，找到$A'$
+$AA'=4$,而$AB=5$,所以$A到B$最短距离就可以通过勾股定理计算斜边得到$\sqrt{4*4+5*5}=\sqrt{41}$
+答案：$D$