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数学课程/将军饮马问题/模型8-9.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/a196794014b2156c7af5d2704c442e76.png)
+
+**前导知识**
+$P,A,B$三个点之间的关系，是
+- 要么共线
+- 要么不共线
+  
+>共线时
+不能构成一个三角形
+- 如果$P$在$A,B$中间，则$|PA-PB|$就是两条线段的差值
+- 如果$P$在$A,B$的延长线上，则$AB=|PA-PB|$
+
+>不共线时
+可以构成一个三角形,必须符合三角形的三边关系：$PA+PB>AB>|PA-PB|$
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+综上所述，我们知道，**只有在三点共线时，上面的$AB$才可以取到等号**，(不共线时，必然取不到等号)。
+
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+$A,B$都在河一侧，连接$A,B$延长交河于$P$点，则此时
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/0fe8c6b77a17b1f96834f36beb415d53.png)
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+如果不在同一侧呢？那么也简单，就是对河取一下对称点$A'$,连接$BA'$就行了。
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+**本题解析**
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/add4c3478db773ca0ec691204d4b1656.png)
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+求两条线段的差值最大值,需要两个端点在河的同侧，那么针对$N$关于$BD$做对称点$N'$,因为$ABCD$是正方形，所以$N'$必然落在$AC$上。
+
+延长$MN'$交$BD$于$P'$,也就是$P$这个动点，走到$P'$这个位置上时，$PN$也就是$P'N'$的长度,$PM$的长度也就是$P'M$的长度，三点共线时，两条线段的差最大，最大值就是$P'M-P'N=MN'$
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+$\because BM=6,BC=8$
+$\therefore MC=2$
+$\therefore MN'=2$