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数学课程/12345模型.md

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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/f20cc4e72ce1658bbb6abd961ba124d6.jpg)
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+**结论**：
+$tan \alpha=\frac{1}{2},tan \beta=\frac{1}{3},\alpha+\beta=45^{\circ}$
+
+利用结论：
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+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/075c27430cd8d1931068d43ef1c2b5fa.jpg)
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+设$\angle BAE=\angle \alpha,\angle FAD=\angle \beta$
+
+$\because BE=2,AB=4$
+$\large \therefore \frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=tan \alpha$
+
+双$\because \alpha+ \beta=45^{\circ}$
+根据结论：$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{3}  $
+$\therefore DF=2$
+
+
+**证明**：
+绘制右侧的图形，$\angle \alpha +\beta=45^{\circ}$
+
+取角分线上任意一点$P$,向$AB,AC$引垂线，构造直角三角形，同时，延长$NP$交$AB$与$M$。
+
+这样就有了好多个直角三角形，计算起来就容易了：
+
+$\because tan\alpha=\frac{1}{2}$
+设$EP=x$,则$AE=2x$
+
+$\because \angle ANM$是引垂线引出的直角三角形，$\angle NAB=45^{\circ}$
+
+$\therefore \angle AMN=45^{\circ}$
+$\therefore EM=EP=x$
+$PM=\sqrt{2}x,AM=3x$
+
+再利用等腰直角三角形的边长关系，得到
+
+$AN=MN$
+
+$\because  2 AN^2=(3x)^2$
+$AN=\sqrt{\frac{(3x)^2*2}{2*2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$
+
+$\therefore PN=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\sqrt{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x$
+
+$\therefore tan \beta=\frac{PN}{AN}=\frac{1}{3}$
+
+**证毕**