'commit'

TangDou/AcWing/125.md

@@ -0,0 +1,106 @@
+##[$AcWing$ $125$. 耍杂技的牛](https://www.acwing.com/problem/content/description/127/)
+
+### 一、题目描述
+农民约翰的 $N$ 头奶牛（编号为 $1..N$）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。
+
+奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：
+
+叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。
+
+奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。
+
+这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。
+
+一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为 **风险值**，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。
+
+您的任务是 **确定奶牛的排序**，使得所有奶牛的风险值中的 **最大值尽可能的小**。
+
+**输入格式**
+第一行输入整数 $N$，表示奶牛数量。
+
+接下来 $N$ 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$。
+
+**输出格式**
+输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。
+
+**数据范围**
+$1≤N≤50000$,
+$1≤W_i≤10,000$,
+$1≤S_i≤1,000,000,000$
+
+**输入样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+3
+10 3
+2 5
+3 3
+```
+
+**输出样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+2
+```
+
+### 二、算法思路
+
+假设所有牛的顺序已排好，我们把第$i$头牛和第$i+1$头牛的位置互换一下,看看会发生什么情况：
+
+|  牛   |            交换前             |               交换后                |
+| :---: | :---------------------------: | :---------------------------------: |
+|  $i$  |  $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_i$$  | $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j+w_{i+1}-s_i$$ |
+| $i+1$ | $$\sum_{j=1}^{i}w_j-s_{i+1}$$ |   $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_{i+1}$$   |
+
+**其他牛的危险值显然不变**，所以分析交换前后这两头牛中最大的危险值即可。
+将上述式子进行化简，四个式子每个减去
+$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j$$
+得到:
+
+
+|  牛   |     交换前      |    交换后     |
+| :---: | :-------------: | :-----------: |
+|  $i$  |     $-s_i$      | $w_{i+1}-s_i$ |
+| $i+1$ | $w_{i}-s_{i+1}$ |  $-s_{i+1}$   |
+
+$\because$ $s,w$都是正数
+$\therefore$ $w_i-s_{i+1}>-s_{i+1},w_{i+1}-s_i>-s_i$
+
+所以，交换前后的最大值，就是在比较 $w_i-s_{i+1},w_{i+1}-s_i$：
+
+- 当$w_i-s_{i+1}>=w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i>=w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换后更优
+
+- 当$w_i-s_{i+1}<w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i<w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换前更优
+
+作法: 按每头牛的 $w + s$ 进行升序排序,然后根据题意算出每头牛的危险值记录其中的最大值即可。
+
+### 三、完整代码
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+typedef pair<int, int> PII;
+const int INF = 0x3f3f3f3f;
+const int N = 50010;
+PII cow[N];
+int n;
+
+int main() {
+    cin >> n;           //奶牛的数量
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        int s, w;                         //牛的重量和强壮程度
+        cin >> w >> s;
+        cow[i] = {w + s, w};            //之所以这样记录数据，是因为我们找到贪心的公式，按 wi+si排序
+    }
+    //排序
+    sort(cow, cow + n);
+
+    //最大风险值
+    int res = -INF, sum = 0;
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second;
+        res = max(res, sum - s); //res为最大风险值
+        sum += w;                //sum=w1+w2+w3+...+wi
+    }
+    printf("%d\n", res);
+    return 0;
+}
+```