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TangDou/AcWing/BeiBao/9.md

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+##[$AcWing$ $9$. 分组背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/description/9/)
+
+### 一、题目描述
+有 $N$ 组物品和一个容量是 $V$ 的背包。
+
+每组物品有若干个，**同一组内的物品最多只能选一个**。
+
+每件物品的体积是 $v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中 $i$ 是组号，$j$ 是组内编号。
+
+求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
+
+输出最大价值。
+
+**输入格式**
+第一行有两个整数 $N，V$，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
+
+接下来有 $N$ 组数据：
+
+每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 $i$ 个物品组的物品数量；
+每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_{ij},w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 个物品组的第 $j$ 个物品的体积和价值；
+
+**输出格式**
+输出一个整数，表示最大价值。
+
+**数据范围**
+$0<N,V≤100$
+
+$0<S_i≤100$
+
+$0<v_{ij},w_{ij}≤100$
+
+**输入样例**
+```cpp {.line-numbers}
+3 5
+2
+1 2
+2 4
+1
+3 4
+1
+4 5
+```
+
+**输出样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+8
+```
+
+### 二、解题思路
+
+直接上 **分组背包** 的 **闫氏$DP$分析法**
+
+<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/21/55909_0a17f1d9d2-IMG_40E676992253-1.jpeg'></center>
+
+初始状态 ：$f[0][0]$
+
+目标状态 ：$f[N][M]$
+#### 状态表示
+$f[i][j]$ 从前 $i$ 组物品中选择且总体积不大于 $j$ 的最大价值
+
+#### 状态转移
+  针对第 $i$ 组物品，将整个状态划分成 $s[i]+1$ 类：
+  * ① 第$i$组物品一个都不要：$f[i][j] = f[i-1][j]$
+  * ② 选第 $i$ 组物品的第一个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v_1]+w_1$
+  * ③ 选第 $i$ 组物品的第二个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v_2]+w_2$
+  * ④ 选第 $i$ 组物品的第 $k$ 个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v_k]+w_k$ 
+  * ...
+
+  $$\large f[i][j]=max(f[i][j], f[i-1][j-v_k]+w_k)) \  k \in [0, 1, 2,...,s_i]$$
+
+#### 初始化
+$f[0][0\sim m] = 0$ 表示在选择 `0` 组物品时对于任何体积来讲，其最大价值均为 `0`
+
+
+### 三、二维数组版本
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 110;
+int n, m;
+int f[N][N], v[N][N], w[N][N], s[N];
+
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        cin >> s[i]; // 第i个分组中物品个数
+        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
+            cin >> v[i][j] >> w[i][j]; // 第i个分组中物品的体积和价值
+    }
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++)            // 每组
+        for (int j = 0; j <= m; j++) {      // 每个合法体积
+            f[i][j] = f[i - 1][j];          // 如果一个都不要，那么这一组就相当于白费，给你机会也不中用，继承于i-1
+            for (int k = 1; k <= s[i]; k++) // 选择第k个
+                if (j >= v[i][k])
+                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]); // 枚举每一个PK一下大小
+        }
+    // 输出打表结果
+    printf("%d", f[n][m]);
+    return 0;
+}
+
+```
+
+###  四、一维数组版本
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+const int N = 110;
+
+int n, m;
+int v[N][N], w[N][N], s[N];
+int f[N];
+
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        cin >> s[i];
+        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
+            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
+    }
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++)
+        for (int j = m; j >= 0; j--)
+            for (int k = 1; k <= s[i]; k++)
+                if (j >= v[i][k])
+                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
+
+    printf("%d\n", f[m]);
+    return 0;
+}
+```