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HuangHai
176
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/860.md
Normal file
176
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/860.md
Normal file
@@ -0,0 +1,176 @@
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##[$AcWing$ $860$. 染色法判定二分图](https://www.acwing.com/problem/content/description/862/)
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### 一、题目描述
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给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。
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请你判断这个图是否是二分图。
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**输入格式**
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第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
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接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $u$ 和 $v$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条边。
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**输出格式**
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如果给定图是二分图，则输出 `Yes`，否则输出 `No`。
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**数据范围**
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$1≤n,m≤10^5$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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4 4
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1 3
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1 4
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2 3
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2 4
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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Yes
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```
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### 二、二分图的概念
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二分图,是图论中的一种特殊模型，设$G=(V,E)$是一个无向图，如果顶点$V$可分割为 **两个互不相交的子集** $(A,B)$，并且同一集合中不同的两点没有边相连,就是二分图。
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**举个栗子吧：**
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这是不是二分图？
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反正我第一次看觉得不是。其实，是的，他是二分图，尽管看上去是连着的。
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若我们将图中的一些边转一下，变成：
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这就是一个明显的二分图。**集合A与B中的点互不相连!**。
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只要两个点之间有边，那么这两个点就不能同属一个集合，必须分在两边。
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### 三、二分图的几个性质
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* **二分图不一定是连通图**
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* **一定不含有奇数环，可以包含长度为偶数的环**
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* **任何无回路的图均是二分图**
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### 四、$DFS$实现
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染色法是判断二分图的办法：
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 100010, M = N << 1;
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int n, m;
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||||
int color[N];
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||||
// 邻接表
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||||
int e[M], h[N], idx, ne[M];
|
||||
void add(int a, int b) {
|
||||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||||
}
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|
||||
// u:点 c:颜色值
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||||
bool dfs(int u, int c) {
|
||||
color[u] = c;
|
||||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||||
int v = e[i];
|
||||
if (!color[v]) { // 没有染色过
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||||
if (!dfs(v, 3 - c)) return 0; // 这个3-c用的太妙了
|
||||
} else if (color[v] == c)
|
||||
return 0; // 染色冲突
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||||
}
|
||||
return 1;
|
||||
}
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||||
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||||
int main() {
|
||||
memset(h, -1, sizeof h);
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
|
||||
while (m--) {
|
||||
int a, b;
|
||||
cin >> a >> b;
|
||||
add(a, b), add(b, a);
|
||||
}
|
||||
bool flag = 1;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
if (!color[i]) { // 把当前点染色为1
|
||||
if (!dfs(i, 1)) {
|
||||
flag = 0;
|
||||
break;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
if (flag)
|
||||
puts("Yes");
|
||||
else
|
||||
puts("No");
|
||||
return 0;
|
||||
}
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||||
```
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||||
### 五、$BFS$实现
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```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010, M = N << 1;
|
||||
typedef pair<int, int> PII;
|
||||
|
||||
int n, m;
|
||||
int color[N];
|
||||
// 邻接表
|
||||
int e[M], h[N], idx, ne[M];
|
||||
void add(int a, int b) {
|
||||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||||
}
|
||||
bool bfs(int x) {
|
||||
// 假设 1:黑，2：白，这样方便理解一些
|
||||
color[x] = 1;
|
||||
queue<PII> q;
|
||||
q.push({x, 1});
|
||||
while (q.size()) {
|
||||
PII t = q.front();
|
||||
q.pop();
|
||||
int u = t.first, c = t.second;
|
||||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||||
int v = e[i];
|
||||
if (!color[v]) {
|
||||
color[v] = 3 - c;
|
||||
q.push({v, 3 - c});
|
||||
} else if (color[v] == c) // 发现冲突
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||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return 1;
|
||||
}
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||||
|
||||
int main() {
|
||||
memset(h, -1, sizeof h);
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
int a, b;
|
||||
while (m--) {
|
||||
cin >> a >> b;
|
||||
add(a, b), add(b, a);
|
||||
}
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||||
int flag = 1;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
if (!color[i]) {
|
||||
if (!bfs(i)) {
|
||||
flag = 0;
|
||||
break;
|
||||
}
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||||
}
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||||
}
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||||
if (flag)
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||||
puts("Yes");
|
||||
else
|
||||
puts("No");
|
||||
return 0;
|
||||
}
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||||
```
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||||
58
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/860_bfs.cpp
Normal file
58
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/860_bfs.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,58 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
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||||
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||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010, M = N << 1;
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||||
typedef pair<int, int> PII;
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||||
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||||
int n, m;
|
||||
int color[N];
|
||||
// 邻接表
|
||||
int e[M], h[N], idx, ne[M];
|
||||
void add(int a, int b) {
|
||||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||||
}
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||||
bool bfs(int x) {
|
||||
// 假设 1:黑，2：白，这样方便理解一些
|
||||
color[x] = 1;
|
||||
queue<PII> q;
|
||||
q.push({x, 1});
|
||||
while (q.size()) {
|
||||
PII t = q.front();
|
||||
q.pop();
|
||||
int u = t.first, c = t.second;
|
||||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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||||
int v = e[i];
|
||||
if (!color[v]) {
|
||||
color[v] = 3 - c;
|
||||
q.push({v, 3 - c});
|
||||
} else if (color[v] == c) // 发现冲突
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||||
return 0;
|
||||
}
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||||
}
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||||
return 1;
|
||||
}
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||||
int main() {
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||||
memset(h, -1, sizeof h);
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
int a, b;
|
||||
while (m--) {
|
||||
cin >> a >> b;
|
||||
add(a, b), add(b, a);
|
||||
}
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||||
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||||
int flag = 1;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
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||||
if (!color[i]) {
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||||
if (!bfs(i)) {
|
||||
flag = 0;
|
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break;
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}
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}
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}
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if (flag)
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||||
puts("Yes");
|
||||
else
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puts("No");
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||||
return 0;
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||||
}
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||||
50
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/860_dfs.cpp
Normal file
50
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/860_dfs.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,50 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
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||||
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||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010, M = N << 1;
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||||
|
||||
int n, m;
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||||
int color[N];
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||||
|
||||
// 邻接表
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||||
int e[M], h[N], idx, ne[M];
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||||
void add(int a, int b) {
|
||||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||||
}
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||||
// u:点 c:颜色值
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||||
bool dfs(int u, int c) {
|
||||
color[u] = c;
|
||||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||||
int v = e[i];
|
||||
if (!color[v]) { // 没有染色过
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||||
if (!dfs(v, 3 - c)) return 0; // 这个3-c用的太妙了
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||||
} else if (color[v] == c)
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||||
return 0; // 染色冲突
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||||
}
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||||
return 1;
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||||
}
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||||
int main() {
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||||
memset(h, -1, sizeof h);
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||||
cin >> n >> m;
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||||
|
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while (m--) {
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||||
int a, b;
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||||
cin >> a >> b;
|
||||
add(a, b), add(b, a);
|
||||
}
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||||
bool flag = 1;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
if (!color[i]) { // 把当前点染色为1
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||||
if (!dfs(i, 1)) {
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||||
flag = 0;
|
||||
break;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
if (flag)
|
||||
puts("Yes");
|
||||
else
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||||
puts("No");
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||||
return 0;
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||||
}
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49
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/861.cpp
Normal file
49
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/861.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,49 @@
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||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
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||||
const int N = 510;
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const int M = 100010;
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int n1, n2;
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int m;
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int match[N];
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||||
int st[N];
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int res;
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||||
int h[N], e[M], ne[M], idx;
|
||||
void add(int a, int b) {
|
||||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||||
}
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||||
|
||||
int dfs(int u) {
|
||||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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||||
int v = e[i];
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||||
if (!st[v]) {
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||||
st[v] = 1;
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||||
if (match[v] == 0 || dfs(match[v])) {
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||||
match[v] = u;
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||||
return 1;
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}
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||||
}
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
|
||||
int main() {
|
||||
memset(h, -1, sizeof h);
|
||||
cin >> n1 >> n2 >> m;
|
||||
while (m--) {
|
||||
int a, b;
|
||||
cin >> a >> b;
|
||||
add(a, b);
|
||||
}
|
||||
|
||||
for (int i = 1; i <= n1; i++) {
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memset(st, 0, sizeof st);
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if (dfs(i)) res++;
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}
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||||
printf("%d\n", res);
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||||
return 0;
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||||
}
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||||
149
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/861.md
Normal file
149
TangDou/AcWing/BipartiteGraph/861.md
Normal file
@@ -0,0 +1,149 @@
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||||
## [$AcWing$ $861$. 二分图的最大匹配](https://www.acwing.com/problem/content/863/)
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### 一、题目描述
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给定一个二分图，其中左半部包含 $n_1$ 个点（编号 $1∼n_1$），右半部包含 $n_2$ 个点（编号 $1∼n_2$），二分图共包含 $m$ 条边。
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||||
数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。
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请你求出二分图的最大匹配数。
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> 二分图的匹配：给定一个二分图 $G$，在 $G$ 的一个子图 $M$ 中，$M$ 的边集 ${E}$ 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 $M$ 是一个匹配。
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||||
> <br>二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。
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**输入格式**
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第一行包含三个整数 $n_1$、 $n_2$ 和 $m$。
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||||
接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $u$ 和 $v$，表示左半部点集中的点 $u$ 和右半部点集中的点 $v$ 之间存在一条边。
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||||
**输出格式**
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||||
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。
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||||
**数据范围**
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$1≤n1,n2≤500,1≤u≤n_1,1≤v≤n_2$,$1≤m≤10^5$
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||||
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||||
**输入样例：**
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||||
```cpp {.line-numbers}
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||||
2 2 4
|
||||
1 1
|
||||
1 2
|
||||
2 1
|
||||
2 2
|
||||
```
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||||
|
||||
**输出样例：**
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
2
|
||||
```
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||||
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||||
### 二、二分图的最大匹配
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* 前提：给定一个二分图，不用你判断是不是二分图，已经明确知道是二分图，让你求它的最大匹配。
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* 定义：在一个无向图中，定义一条边覆盖的点为这条边的两个端点。
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找到一个边集$S$包含最多的边，使得这个边集覆盖到的所有顶点中的每个顶点只被一条边覆盖。$S$的大小叫做图的最大匹配。
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#### 匈牙利算法
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又名：【**月佬算法**】,目标：成就更多美满姻缘！
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建立有向图$G$，分为二分图的左侧和右侧。 优先选择左侧序号更小的连接可能的边。 对于两个点的目标点“**冲突**”的时候，采取“**协商**”的办法。 即序号小的连接可能连接的另一条边。 若“**协商**”失败，则放弃序号较大的点的边。
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概念看的都好绕，实例比较好懂：
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你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。
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<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142320785-1042345314.png'></center>
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||||
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本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：
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1. 先试着给$1$号男生找妹子，发现第一个和他相连的$1$号女生还名花无主，$got\ it$，连上一条蓝线
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<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142410170-728808669.png'></center>
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||||
2. 接着给$2$号男生找妹子，发现第一个和他相连的$2$号女生名花无主，$got\ it$
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<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142437803-1839213265.png'></center>
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||||
3. 接下来是$3$号男生，很遗憾$1$号女生已经有主了，怎么办呢？
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||||
我们试着给之前$1$号女生匹配的男生（也就是$1$号男生）另外分配一个妹子。(黄色表示这条边被临时拆掉)
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||||
<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142519836-493115557.png'></center>
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|
||||
与$1$号男生相连的第二个女生是$2$号女生，但是$2$号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给$2$号女生的原配重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)
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||||
<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142558354-1617398016.png'></center>
|
||||
|
||||
此时发现$2$号男生还能找到$3$号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去
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| $2$号男生可以找$3$号妹子 | $1$号男生可以找$2$号妹子 | $3$号男生可以找$1$号妹子 |
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| ---------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
||||
| <img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142644523-2049115898.png'> | <img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142651654-828200266.png'> | <img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142656594-707561974.png'> |
|
||||
|
||||
所以第3步最后的结果就是：
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||||
<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210926142701152-900117129.png'></center>
|
||||
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||||
4. 接下来是$4$号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给$4$号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。
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||||
|
||||
|
||||
### 三、实现代码
|
||||
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 510;
|
||||
const int M = 100010;
|
||||
|
||||
int n1, n2;
|
||||
int m;
|
||||
|
||||
int match[N];
|
||||
int st[N];
|
||||
int res;
|
||||
|
||||
int h[N], e[M], ne[M], idx;
|
||||
void add(int a, int b) {
|
||||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||||
}
|
||||
|
||||
int dfs(int u) {
|
||||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||||
int v = e[i];
|
||||
if (!st[v]) {
|
||||
st[v] = 1;
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if (match[v] == 0 || dfs(match[v])) {
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match[v] = u;
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return 1;
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}
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}
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}
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return 0;
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n1 >> n2 >> m;
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while (m--) {
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int a, b;
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cin >> a >> b;
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add(a, b);
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}
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for (int i = 1; i <= n1; i++) {
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memset(st, 0, sizeof st);
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if (dfs(i)) res++;
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}
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printf("%d\n", res);
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return 0;
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}
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```
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### 五、 解释`int st[N]`的作用
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**重点**:`st[]`的作用:
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首先我们$find(x)$ 遍历属于$h[x]$的单链表相当于遍历他所有喜欢的女生
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如果某个女生$j$没有被他预定过的话,就标记这个女生$j$被他预定,即$st[j]=true$
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这时如果女$j$还没有匹配过,即$match[j]==0$的时候,那这个预定就成真了,得到$match[j]=x$
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而如果女$j$之前就被男$k$匹配过了,那我们就$find(k)$,也就是$find(match[j])$(因为原本$match[j]==k$)
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然后在$find(k)$的过程中,因为$st[j]=true$,这时候男$k$就不能再选则女$j$了,因为女$j$已经被预定了,所以男$k$就只能在他喜欢的女生里面选择其他人来匹配。
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当然，如果$find(k)$返回$false$的话,那就 $if(match[j]==0 || find(match[j]))$都不成立,那男$j$就一边玩去吧~
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