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TangDou/AcWing/DP/ConvexHullTrick/UVA12983.in

@@ -0,0 +1,5 @@
+2
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+3 2
+3 2 1

TangDou/AcWing/DP/ConvexHullTrick/UVA12983.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+# $UVA12983$ $The$ $Battle$ $of$ $Chibi$
+
+[题目传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA12983)
+
+#### 离散+$dp$动规+树状数组优化
+
+**状态表示**
+$dp[i][j]$ 表示以第 $i$ 个数结尾,长度为 $j$ 的 **严格上升子序列** 的个数
+
+**状态转移**
+$$\large dp[i][j]=\sum_{k=1,a_k<a_i}^{i-1} dp[k][j-1]$$​
+
+
+TODO 挖坑待填
+
+现在还没有复习树状数组、线段树等知识，等复习后，第三轮复习DP斜率优化时，再综合树状数组的知识对此详细理解，撰写题解。
+2022-9-30

TangDou/AcWing/DP/ConvexHullTrick/UVA12983.out

@@ -0,0 +1,2 @@
+Case #1: 3
+Case #2: 0

TangDou/AcWing/DP/ConvexHullTrick/UVA12983_BruteForce.cpp

@@ -0,0 +1,53 @@
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+const int mod = 1e9 + 7; //取模
+const int N = 1010;
+const int M = 1010;
+
+int n; //原序列长度
+int m; //目标序列长度
+int f[N][M];
+int a[N];
+
+//　原题链接 https://www.luogu.com.cn/problem/solution/UVA12983
+int main() {
+    //加快读入
+    cin.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
+
+    //文件输入
+    freopen("UVA12983.in", "r", stdin);
+
+    //文件输出
+    // freopen("UVA12983.out", "w", stdout);
+
+    int T;
+    //测试数据组数
+    cin >> T;
+
+    for (int Case = 1; Case <= T; Case++) { //　while(T--) ，由于要输出　Case +数字，所以写成for,为了怕占用i,j变量，起名为idx
+        cin >> n >> m;                      //由n个数字中挑选，最终严格上升子序列的个数为m 个
+        int sum = 0;                        //结果为累加和,因为最终长度为m,可以从m,m+1,m+2,...,n个数字中选择，最终长度为m即可
+
+        // DP初始化
+        memset(f, 0, sizeof(f)); // f[i][j]表示　在前i个数字中选择，并且，是后一位是i的，并且长度是j的　子序列　个数
+        //个数的初始值
+
+        //这个初始值有意思：不管给我几个数字，最终生成的是位的子序列，那么，只有一种可能
+        for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][1] = 1;
+
+        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; //读入原序列
+
+        //开始O(N^3)级的DP
+        //小的数量在外层循环，大的数量在内层循环，这会影响很大的运算速率
+        for (int j = 2; j <= m; j++)                             // 小数在外层循环;j=1的已经根据实际意义给上了初始值1，从2开始递推
+            for (int i = j; i <= n; i++)                         // 大数在内层循环
+                for (int k = 1; k < i; k++)                      // 遍历所有前序可能
+                    if (a[k] < a[i])                             // 保证严格递增
+                        f[i][j] = (f[k][j - 1] + f[i][j]) % mod; // 不断累加，不断取模
+
+        for (int i = m; i <= n; i++) sum += f[i][m]; //在m确定的情况下，每个一个m~n之间的原始长度都包含解
+        cout << "Case #" << Case << ": " << sum << endl;
+    }
+    return 0;
+}

TangDou/AcWing/DP/ConvexHullTrick/【学习笔记】动态规划—各种 DP 优化.md

@@ -0,0 +1,107 @@
+#　【学习笔记】动态规划—各种 $DP$ 优化
+
+[原文链接，致敬大神](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11317315.html)
+
+## 【大前言】
+
+个人认为贪心，$dp$ 是最难的，每次遇到题完全不知道该怎么办，看了题解后又瞬间恍然大悟（TAT）。这篇文章也是花了我差不多一个月时间才全部完成。
+
+## 【进入正题】
+用动态规划解决问题具有 **空间耗费大**、 **时间效率高** 的特点，但也会有时间效率不能满足要求的时候，如果算法有可以优化的余地，就可以考虑时间效率的优化。
+
+## 【$DP$ 时间复杂度的分析】
+
+$DP$ 高时间效率的关键在于它减少了 **冗余** ，即不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。而动态规划就是在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少 **冗余** 
+
+但是，一个动态规划问题很难做到完全消除 **冗余**
+
+下面给出动态规划时间复杂度的决定因素：
+
+### 时间复杂度 = 状态总数 × 每个状态转移的状态数 × 每次状态转移的时间
+
+
+## 【$DP$ 优化思路】
+
+### 一：减少状态总数
+(1). 改进状态表示
+
+(2). 选择适当的规划方向
+
+### 二：减少每个状态转移的状态数
+
+(1). 四边形不等式和决策的单调性
+
+(2). 决策量的优化
+
+(3). 合理组织状态
+
+(4). 细化状态转移
+
+### 三：减少状态转移的时间
+
+(1). 减少决策时间
+
+(2). 减少计算递推式的时间
+
+（上述内容摘自 《动态规划算法的优化技巧》毛子青 ，想要深入了解其思想的可以去看看这篇写得 **超级好** 的论文。）
+
+看到这里是不是已经感觉有点蒙了呢？
+本蒟蒻总结了一个简化版本：
+
+## 【$DP$ 三要点】
+
+在推导 $dp$ 方程时，我们时常会感到毫无头绪，而实际上 $dp$ 方程也是有迹可循的，总的来说，需要关注两个要点：**状态**，**决策和转移**。其中  **状态最为关键**， **决策最为复杂**。
+
+### 【状态】
+关于 **状态** 的优化可以从很多角度出发，思维难度极其高，有时候状态选择的好坏会直接导致出现 **爆零** 和 **满分** 的分化。
+
+### 【决策】
+
+与 **状态** 不同，**决策** 优化则有着大量模板化的东西，在各大书籍，文章上你都可以看到这样的话：只要是形如 $XXX$ 的状态转移方程，都可以用 $XXX$ 进行优化。
+
+### 【转移】
+
+**转移** 则指由最优决策点得到答案的转移过程，其复杂度一般较低，通常可以忽略，但有时也需要特别注意并作优化。
+
+本文将会重点针对 **决策** 优化部分作一些总结，记录自己的感悟和理解。
+
+$$QAQ$$
+
+# 一：【矩阵优化 $DP$】
+
+$updata$  之后由于篇幅过大，已搬出。。。。。
+
+[【学习笔记】动态规划—矩阵递推加速](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11594147.html)
+
+TODO　挖坑待填 
+
+补充：其实质是优化 **转移**。
+
+$$QAQ$$
+
+# 二：【数据结构优化 $DP$】
+
+## 【前言】
+
+在一些 $dp$ 方程的状态转移过程中，我们通常需要在某个范围内进行择优，选出最佳决策点，这往往可以作为 $dp$ 优化的突破口。
+
+数据结构的使用较灵活，没有一个特定的模板，需要根据具体情况而定，选择合适的方案。由于状态转移总是伴随着 **区间查询最值**，**区间求和** 等操作，即 **动态区间操作**，所以 **平衡树** 可以作为一个有用的工具，但考虑到代码复杂度，使用 **树状数组** 或者 **线段树** 将会是一个不错的选择。
+
+其实质是优化 **决策**。
+
+## 1.【维护合适的信息】
+
+以 [$The$ $Battle$ $of$ $Chibi$ [$UVA12983$]](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA12983) 为例，大概题意就是计算在给定的序列中严格单调递增子序列的数量，并对 $1e9+7$ 取模，给定序列长度小于等于 $1000$ 。
+
+方程应该是比较好推的，用 $dp[i][j]$ 表示由序列中在 $j$ 之前的数构成并以 $a[j]$ 结尾的子序列中，长度为 $i$ 的子序列的数量。则：
+$$\large dp[i][j]=\sum dp[i−1][k]$$ ，其中 $k<j$ 且 $a[k]<a[j]$ 。
+
+> $Q:$状态用一维表示行不行？
+$A$:如果是一维表示，那么就是表示由序列中在 $j$ 之前的数构成并以 $a[j]$ 结尾的子序列的数量。这时考虑一下状态转移，看看它的前序状态是怎么样转移过来的：枚举它前面所有的数字，$a[k]<a[j]$,这样不行吗？
+> 不行，比如$1~ 2~ 2~ 2~ 6 ~ 3~ 3~ 4$,因为存在重复数字$2$,会造成统计重复，无法去重。
+> 办法就是增加一个维度，还要记录以$k$结尾时的子序列长度，就解决了去重的问题。
+
+对于决策点 $dp[i−1][k]$ 这里出现了 $3$ 个信息：
+1. 在原序列中的位置 $k<j$ 。
+2. $a[k]<a[j]$ 。
+3. $dp[i−1][k]$ 的和。

TangDou/AcWing/DP/ConvexHullTrick/【学习笔记】动态规划—斜率优化DP.md

@@ -0,0 +1,211 @@
+## 【学习笔记】动态规划—斜率优化$DP$
+
+[原文链接，致敬大神](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11210179.html)
+
+https://www.jianshu.com/p/72387491a758
+https://blog.csdn.net/tanjunming2020/article/details/126977257
+
+### 【前言】
+
+第一次写这么长的文章。
+
+写完后对 **斜优** 的理解又加深了不少（$update$ $2020$.$6$.$19$: 回过头来看这句话满是讽刺啊，明明这时候连 **基本的概念** 都 **没有理清** ....）。
+
+本文讲解较详，只要耐心读下去，相信大部分 $OIer$ 都能看懂。
+
+**斜率优化** $dp$，顾名思义就是利用 **斜率相关性质** 对 $dp$ 进行优化。
+
+**斜率优化** 通常可以 **由两种方式来理解** ，需要灵活地运用数学上的 **数形结合**, **线性规划** 思想。
+
+按照正常思路列出$DP$方程后，如发现其形如$$\large dp[i]=Min/Max(dp[j]+v[j]\times w[i])$$的形式，即可使用斜率优化$DP$。（$v[j]$和$w[i]$分别表示两个关于$j$和$i$的函数）
+
+
+该方程的关键点在于 $v[j] \times w[i]$ 这一项，它既有 $i$ 又有 $j$，于是 **单调队列优化** **不再适用**，可以 **尝试** 使用 **斜率优化**。
+
+
+### 一.【理解方式】
+
+以 [【模板】 玩具装箱 $toy$ [$P3195$]](https://www.luogu.com.cn/problem/P3195) 为例，两种斜优的理解方式。
+
+设 $\large \displaystyle S[n]=\sum_{i=1}^n(C[i]+1)$，用 $dp[i]$ 表示装好前 $i$ 个的最小花费，则转移方程为：
+
+$$\large dp[i]=min(dp[j]+(S[i]−S[j]−1−L)^2)$$
+
+<font color='red' size=4><b>注：两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，$j+1 \sim i$的话，最后一个$i$里没有这个一个单位长度,需要减去$1$。</b></font>
+
+为方便描述，**将 $L$ 提前加 $1$**，再把 $min$ **去掉**，得到状态转移方程:
+
+$$\large dp[i]=dp[j]+(S[i]−S[j]−L)^2$$
+
+化简得：
+$$\large dp[i]=S[i]^2−2S[i]L+dp[j]+(S[j]+L)^2−2S[i]S[j]$$
+
+#### 1.【代数法（数形结合）】
+只含 $L$ 的项对于每一个 $i$ 的 **择优筛选** 过程都是完全一样的值，只含 $Function(i)$ 的项在一次 $i$ 的**择优筛选**过程中不变,含 $Function(j)$ 的项可能会不断变化（在本题中表现为为**严格单增**）。
+
+我们以此为划分依据，把同类型的项用括号括起来，即：
+
+$$\large dp[i]=(−2S[i]S[j])+(dp[j]+(S[j]+L)^2)+(S[i]^2−2S[i]L)$$
+
+##### (1).【维护一个凸包】
+
+设 $j_1,j_2 (0⩽j_1<j_2<i)$ 为 $i$ 的两个决策点，且满足**决策点** $j_2$ 优于 $j_1$，
+
+有： $$\large (−2S[i]S[j_2])+(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)+(S[i]^2−2S[i]L)⩽(−2S[i]S[j_1])+(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)+(S[i]^2−2S[i]L) \\
+\Rightarrow \\
+\large (−2S[i]S[j_2])+(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)⩽(−2S[i]S[j_1])+(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)$$
+
+**划重点**：此处**移项**需要遵循的原则是：**参变分离**。将 $Function(i)$ 视作未知量，用 $Function(j)$ 来表示出 $Function(i)$ 。
+
+移项得：$\large −2S[i](S[j_2]−S[j_1])⩽(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)−(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)$
+$∵C[j]⩾1$
+$∴S[j+1]>S[j]$
+又$∵j_2>j_1$
+$∴S[j2]−S[j1]>0$
+
+$\large ∴2S[i]⩾ \frac{(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2)−(dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)}{S[j_2]−S[j_1]}$
+
+设 $Y(j)=dp[j]+(S[j]+L)^2,X(j)=S[j]$
+即$\large 2S[i]⩾ \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}$
+
+显然等式右边是一个关于点 $P(j_2)$ 和 $P(j_1)$ 的斜率式，其中
+$P(j)=(X(j),Y(j))=(S[j],dp[j]+(S[j]+L)^2)$
+
+也就是说，如果存在两个决策点 $j_1,j_2$ 满足 $(0⩽j_1<j_2<i)$,使得不等式 
+$$\large \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}⩽2S[i]$$成立，或者说 使得 $P(j_2),P(j_1)$ 两点所形成直线的斜率小于等于 $2S[i]$，那么决策点 $j_2$ 优于 $j_1$。
+
+
+> **划重点：斜优灵活多变，细节麻烦也多，所以尽量将问题模式化。**
+比如这里的最终公式，尽量化为 $ \frac{Y(j)−Y(j′)}{X(j)−X(j′)}$的形式，而不是 $\frac{(Y(j))−Y(j′)}{X(j′)−X(j)}$ ，虽然直接做一般也不会出什么问题，但这样子可以方便理解，方便判断凸包方向等等。
+
+假设有酱紫的三个点 $P(j_1),P(j_2),P(j_3)$，$k_1,k_2$ 为斜率，如下图所示情况（三点分别为 $A,B,C$）：
+
+<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_464656465.PNG'></center>
+
+显然有 $k_2<k_1$。设 $k_0=2S[i]$，由上述结论可知：
+
+> ($a$). 若 $k_1⩽k_0$，则 $j_2$ 优于 $j_1$ 。反之，若 $k_1>k_0$，则 $j_1$ 优于 $j_2$ 。
+> ($b$). 若 $k_2⩽k_0$，则 $j_3$ 优于 $j_2$ 。反之，若 $k_2>k_0$，则 $j_2$ 优于 $j_3$ 。
+
+于是这里可以分三种情况来讨论：
+
+> (1). $k_0<k_2<k_1$。由 $(a),(b)$ 可知：$j_1$ 优于 $j_2$ 优于 $j_3$。
+> (2). $k_2⩽k_0<k_1$。由 $(a),(b)$ 可知：$j_1$ 和 $j_3$ 均优于 $j_2$。
+> (3). $k_2<k_1⩽k_0$。由 $(a),(b)$ 可知：$j_3$ 优于 $j_2$ 优于 $j_1$。
+
+可以发现，对于这三种情况，$j_2$ 始终不是最优解，于是我们可以将 $j_2$ 从**候选决策点**中踢出去（**删除**），只留下 $j_1$ 和 $j_3$，删后的情况如下图所示：
+
+<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_456.PNG'></center>
+
+我们要对某一个问题的解决方案进行优化改进，无非就是关注两个要点：**正确性** 和 **高效性** （很多时候 **高效性** 都体现为 **单调性** ）。
+
+酱紫做的 **正确性** 是毋庸置疑的，因为在 $j_1$ 和 $j_3$ 其中必定有一个比 $j_2$ 更优，所以删除 $j_2$ 对答案没有任何影响。
+
+那么高效性呢？自己在脑子里面 $yy$ 一下，在一个坐标系的第一象限中（本题中 $X(j)$ 和 $Y(j)$均大于等于 $0$，至于为什么这里要说等于，下面会提到），有若干个离散的点，任取三点，如果左边斜率大于右边斜率，则形成了上述情况，必定会 **删点** ，因而消除这种情况。所以将最后留下来的点首位相连，其形成的各个线段 **斜率** **从左到右** 必定是 **单调递增** 的（有可能非严格递增，这个问题之后再讨论）。
+
+如果学习过计算几何相关知识，会意识到这个过程其实与求凸包算法是类似的。（顺手丢一个广告：[【学习笔记】计算几何全家桶](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12102489.html)）
+
+实际上在图中选取最靠左下面、下面、右下面的点首位相连，就是最后留下来的点了，它们形成了一个 **下凸包**，即 **凸包**（又名 **凸壳**）的下半部分（不严谨的讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的 **凸多边形**，它能包含点集中所有的点——摘自 [百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E5%87%B8%E5%8C%85/179150?fr=aladdin)）。
+
+维护出的图形如下图所示：
+<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_789.PNG'></center>
+
+可以尝试在凸包围起来的区域内任意取一点，其必定能在包围圈上找到两个点使得该点可被删除。如上 $L$ 点，它与 $D,E$ 两点形成了一个 **可删点图形** 。
+
+> 注意：图中 $C,D,E$ 故意画成了**三点一线**，而实际上点 $D$ 是可以删去的，且严格凸包不允许存在这种情况。关于去重的细节问题后面会提到。
+
+**同理**，如果把不等式 $\large \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}⩽k_0[i]$ 改为 $\large \frac{Y(j_2)−Y(j_1)}{X(j_2)−X(j_1)}⩾k_0[i]$ ，那么维护出来的就是一个 **上凸包**。
+
+##### (2).【寻找最优决策点】
+
+在一次决策点的寻找中，易知 **下凸包** 点集里总会存在一点，使得它与左邻点形成的斜率小于等于 $k_0$ ，与右邻点形成的斜率大于 $k_0$ 。
+
+例如上图中的 $E$ 点，设 $k_4⩽k_0<k_5$ 由于凸包上面的斜率呈 **单增态**，那么有：
+$$\large k_1<k_2<k_3<k_4⩽k_0<k_5<k_6<k_7$$
+
+所以决策点 $E$ 优于其他所有点，即 $E$ 就是 $dp[i]$ 的 **最优决策点**。
+
+如果 **暴力查找** 的话，就是从第一个点开始向后扫描，找到 **第一个斜率大于 $k_0$ 的线段**，其 **左端点** 即为 **最优决策点**。由于凸包上的 **斜率依次递增**，可以 **二分** 快速得到这个点。
+
+#### 2.【线性规划】
+先回顾一下模板题的 $dp$ 方程：
+$$\large dp[i]=S[i]^2−2S[i]L+dp[j]+(S[j]+L)^2−2S[i] \times S[j]$$
+
+对其进行移项变化，变成形如 $y=kx+b$ 的点斜式。
+
+> **划重点：移项要遵循的原则是：把含有 $function(i)∗function(j)$ 的表达式看作斜率 $k_0$ 乘以未知数 $x$，含有 $dp[i]$ 的项必须要在 $b$ 的表达式中，含有 $function(j)$ 的项必须在 $y$ 的表达式中。如果未知数 $x$ 的表达式单调递减，最好让等式两边同乘个 $−1$，使其变为单增。**
+
+至于为什么说要让 $x$ 的表达式单增，$emm$...其实是为了让一些较简单的问题模式化，不易出错，如果你非要单减，可以尝试倒序枚举，至于是否正确，具体实现需要注意的玄学问题等等，因为觉得太麻烦没有细想，我也不清楚会遇到什么问题。
+
+例如此题，原 $dp$ 方程可化为：
+$$\large (2S[i])S[j]+(dp[i]−S[i]^2+2S[i]L)=(dp[j]+(S[j]+L)^2)$$
+
+其中 $\large k_i=2S[i], x_i=S[j], b_i=dp[i]−S[i]^2+2S[i]L, y_i=dp[j]+(S[j]+L)^2$
+
+其实也可以化为：
+$$\large (2S[i])(S[j]+L)+(dp[i]−S[i]^2)=(dp[j]+(S[j]+L)^2)$$
+
+其中 $\large k_i=2S[i], x_i=S[j]+L, b_i=dp[i]−S[i]^2, y_i=dp[j]+(S[j]+L)^2$
+
+还可以化为 ...
+...
+
+只要满足上述移项原则，对答案是没有任何影响的。
+
+这里以第一种形式为例，先画出草图：
+
+<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_14564864.PNG'></center>
+
+##### (1).【高中数学知识】
+我们的目的是求出一个最优决策点 $j$ 使得 $dp[i]$ 最小，又因为 $b[i]=dp[i]−S[i]^2+2S[i]L$ ，所以就是要找到某个点使这条直线经过它时算出来的 $b$ 最小，即是高中数学课本上的线性规划问题。
+
+#### (2).【寻找最优决策点】
+<center><img src='https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/Xing-Ling/1457207/o_4684.PNG'></center>
+
+如图所示，点 $E$ 即为 **最优决策点**。显然，这个使得 $b$ 最小的最优决策点位于下凸包点集中，且与上述代数法求得的点一致。
+
+#### 3.【两种思考方式的结合】
+强烈推荐用 **线性规划** 思想主导思考过程，因为图形的变幻较直观，更重要的是：在某某变量不满足单调性时，通过图形可以迅速做出判断并改变策略（在后面【关于单调性的研究】中会详细解释）。
+
+而 **代数法** 通常在不便于识别方程特征时起一个转换思维方向的作用，因为有些题可能会直接出现 $\frac{Y(j)−Y(j′)}{X(j)−X(j′)}$ 的形式，需要通过一系列代数推导后再绘草图模拟决策。
+
+### 二.【维护凸包】
+
+实际上只要让维护的凸包方向相同，两种思考方式的代码是一模一样的。
+
+用单调队列维护凸包点集，操作分三步走：
+
+* (1). 进行 **择优筛选** 时，在凸包上找到 **最优决策点** $j$ 。
+* (2). 用 **最优决策点** $j$ 更新 $dp[i]$ 。
+* (3). 将 $i$ 作为一个决策点加入图形并更新凸包（如果点 $i$ 也是 $dp[i]$ 的决策点之一，则需要将 $(3)$ 换到最前面）。
+
+在本题中步骤 $(3)$ 的具体操作为：判断当队尾的点与点 $i$ 形成可删点图形时，出队直至无法再删点，然后将 $i$ 加入队列。
+
+在判断可删图形时有两种方法（以 **下凸包** 为例），一种是 `slope(Q[t-1],Q[t])<=slope(Q[t],i)`，另一种是 `slope(Q[t-1],Q[t])<=slope(Q[t-1],i)`，都表示出现了可以删去点 `Q[t]` 的情况（只要对边界、去重的处理足够严谨，两种写法是没有区别的）。其中 `Q` 是 **维护凸包点集** 的 **队列**。
+
+该做法时间复杂度为 $O(nlogn)$，瓶颈在于二分寻找**最优决策点**。
+
+
+### 三.【再优化】
+
+运用 **决策单调性** 进行优化。**决策单调性** 相关基础知识见 [【学习笔记】动态规划—各种 $DP$ 优化](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/11317315.html)，这里只放一下定义：
+
+设 $j_0[i]$ 表示 $dp[i]$ 转移的 **最优决策点**，那么决策单调性可描述为 $∀i⩽i′,j_0[i]⩽j_0[i′]$。也就是说随着 $i$ 的增大，所找到的 **最优决策点是递增态**（非严格递增）。
+
+
+#### (1).【决策单调性证明】
+
+还是以 [玩具装箱](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3195) 为例，来简单证一波 **决策单调性**，方法采用 **四边形不等式**。
+
+
+**四边形不等式** 不知道是个啥，先去学习一下，然后继续。
+2022.09.30
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+
+TODO
+
+## (2).【单调队列】
+
+## (3).【再证决策单调性】
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+# 五.【各种玄学问题】

TangDou/AcWing/DP/ConvexHullTrick/【学习笔记】四边形不等式.md

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+## 【四边形不等式】
+
+### 前言
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+**四边形不等式** 是一种 **动态规划优化** 方法，通过对 **决策单调性** 的证明及应用，使得总体复杂度 **降低一个数量级** 。目前我见过的四边形不等式的题目不多，且大多数比较裸。四边形不等式的常见模型及其基础应用并不难，难点在于与四边形不等式相关的证明，尤其是题目中出现以前没有见过的转移方程的时候。由于本人数学很渣，所以问了很多大神，尝试了各种方法绕过证明。这里把我的经验分享给大家，尤其是像我一样的数学不好的同学。所以，本文并没有证明相关的东西，如果大家想看证明，可以阅读赵爽的文章《**动态规划加速原理之四边形不等式**》，百度文库上应该有免费下载。
+
+### 一种基本形式
+
+四边形不等式的基本形式非常简单，用于常见的区间$dp$的优化。
+
+转移方程形式为
+$$\large f[i][j] = min\{f[i][k] + f[k+1][j] + w(i,j)\}~~i <= k < j$$
+
+这个方程大家再熟悉不过了，**长区间** 可以从  **短区间** 转移过来，$w(i,j)$表示将闭区间$[i,j]$合并产生的费用，状态有$O(n^2)$个，每个状态的决策有$O(n)$个，总复杂度为$O(n^3)$。
+
+现在用 **四边形不等式** 对其优化，首先需要知道什么是 **四边形不等式** 。
+
+
+若函数$w(i,j)$满足$w(a,c) + w(b,d) <= w(a,d) + w(b,c)$，其中$a <= b < c <= d$，则称$w$ **满足四边形不等式**。
+
+可以看做一个以$(a,c)$为 **左上角**，$(b,d)$为 **右下角** 的矩阵中，**左上角** 的值 加上 **右下角**的值小于 **左下角** 的值加上 **右上角** 的值。注意我们要求$b < c$，因为在实际的区间问题中，既然$w(b,c)$表示合并区间$[b,c]$的费用，那么$b$一定是小于等于$c$的。在这个限制下，如果把我们所有的状态写成一个矩阵的话，有用的状态一定是行号小于等于列号的，即所有有用的状态$f[i][j]$中，$i <= j$。
+
+挖坑待填　2022-09-30
+
+[【教程】四边形不等式学习笔记](https://www.cnblogs.com/mlystdcall/p/6525962.html)