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TangDou/AcWing/DP/Tree/求约数和的三重境界.md

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+## 求约数和的三重境界
+
+
+### 一、先上结论
+
+<!-- 让表格居中显示的风格 -->
+<style>
+.center 
+{
+  width: auto;
+  display: table;
+  margin-left: auto;
+  margin-right: auto;
+}
+</style>
+<div class="center">
+  
+  |  数据量/办法   | 暴力$O(N^2)$  |  普通筛法$O(N\cdot logN)$  |  欧拉筛法$O(N)$  |
+  |  ----  | ----   | ----  | ----  |
+  | $n=1e5$  | $13402ms$ | $4ms$ | $2ms$ |
+  | $n=1e6$  | 无法忍受，不能出结果 | $67ms$ | $15ms$ |
+
+</div>
+
+考虑到$O(N^2)$的复杂度，按$C++$一秒$1e8$的运算能力，$1e6*1e6=1e12$,应该是需要$1e12 /1e8=1e4=10000$秒，三个小时，去死吧！太垃圾了~
+
+<font color='red' size=4><b>注意：
+* 普通筛法:代码极短，性能足够，推荐使用
+* 欧拉筛法：代码太长，性能优秀，不推荐使用
+
+</b></font>
+
+
+### 二、暴力法
+
+```c++
+//暴力大法 , 不包含自己
+int bforce(int n) {
+    int sum = 0;
+    for (int i = 1; i < n; i++) {
+        if (n % i == 0)
+            sum = sum + i;
+    }
+    return sum;
+}
+```
+时间复杂度$O(N^2)$
+
+
+### 三、普通筛法
+```c++
+ for (int i = 1; i <= n; i++)         // O(n)
+    for (int j = 2; j <= n / i; j++) // 调和级数O(logn) = n + n / 2 + n / 3 + ... + n/n = lnn + c
+        sum2[i * j] += i;
+```
+时间复杂度$O(N\cdot logN)$
+
+### 四、线性筛法
+[原理解析](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16650121.html)
+
+```c++
+int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
+bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
+int num[N];         // i的最小质因子构成的一个等比数列求和的结果
+int sd[N];          //约数和
+void get_primes(int n) {
+    sd[1] = 1; // 1的约数和是1
+
+    for (int i = 2; i <= n; i++) { //遍历　2~n,筛质数的同时，筛出每个数字的约数和
+        if (!st[i]) {              //如果i是质数
+            primes[cnt++] = i;     //记录i到质数数组中
+            sd[i] = num[i] = 1 + i; //质数的约数和是1+自身
+        }
+        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) { 
+            st[i * primes[j]] = true;              //记录primes[j]的整数倍(i倍)是合数
+
+            if (i % primes[j]) { //如果i不包含primes[j]这个质数因子
+                sd[i * primes[j]] = sd[i] * sd[primes[j]];
+                num[i * primes[j]] = primes[j] + 1;
+            } else { //如果i包含了primes[j]这个质数因子
+                sd[i * primes[j]] = sd[i] / num[i] * (num[i] * primes[j] + 1);
+                num[i * primes[j]] = num[i] * primes[j] + 1;
+                break;
+            }
+        }
+    }
+}
+```
+
+### 五、附：测试对比的代码
+```c++
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+
+const int N = 1e6 + 10;
+int sum1[N], sum2[N], sd[N];
+int n = 1e5;
+
+//暴力大法 , 不包含自己
+int bforce(int n) {
+    int sum = 0;
+    for (int i = 1; i < n; i++) {
+        if (n % i == 0)
+            sum = sum + i;
+    }
+    return sum;
+}
+
+int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
+bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
+int num[N];         // i的最小质因子构成的一个等比数列求和的结果
+int sd[N];          //约数和
+void get_primes(int n) {
+    sd[1] = 1; // 1的约数和是1
+
+    for (int i = 2; i <= n; i++) {  //遍历　2~n,筛质数的同时，筛出每个数字的约数和
+        if (!st[i]) {               //如果i是质数
+            primes[cnt++] = i;      //记录i到质数数组中
+            sd[i] = num[i] = 1 + i; //质数的约数和是1+自身
+        }
+        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
+            st[i * primes[j]] = true; //记录primes[j]的整数倍(i倍)是合数
+
+            if (i % primes[j]) { //如果i不包含primes[j]这个质数因子
+                sd[i * primes[j]] = sd[i] * sd[primes[j]];
+                num[i * primes[j]] = primes[j] + 1;
+            } else { //如果i包含了primes[j]这个质数因子
+                sd[i * primes[j]] = sd[i] / num[i] * (num[i] * primes[j] + 1);
+                num[i * primes[j]] = num[i] * primes[j] + 1;
+                break;
+            }
+        }
+    }
+}
+
+int main() {
+    //记录开始时间
+    clock_t begin = clock();
+    // 1、暴力计算 O(n^2)
+    // for (int i = 1; i <= n; i++) sum1[i] = bforce(i);
+    // for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sum1[i]);
+    puts("");
+    //记录结束时间
+    clock_t end = clock();
+    cout << "Running time:" << (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms" << endl;
+
+    // 2、通过筛法求出1到n的所有约数之和
+    //记录开始时间
+    begin = clock();
+    for (int i = 1; i <= n; i++)         // O(n)
+        for (int j = 2; j <= n / i; j++) // 调和级数O(logn) = n + n / 2 + n / 3 + ... + n/n = lnn + c
+            sum2[i * j] += i;
+
+    // for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sum2[i]);
+    puts("");
+    //记录结束时间
+    end = clock();
+    cout << "Running time:" << (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms" << endl;
+
+    // 3、利用欧拉定理筛出约数和
+    //记录开始时间
+    begin = clock();
+    get_primes(n);
+    // for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sd[i]-i);
+    puts("");
+    //记录结束时间
+    end = clock();
+    cout << "Running time:" << (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << "ms" << endl;
+    return 0;
+}
+```