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TangDou/AcWing/DP/Tree/51NOD1588.md

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+ ## [$51nod$ $1588$ 幸运树](https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1588)
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+#### 【知识点】树形$dp$统计树上方案数
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+### 一、题目描述
+定义幸运数字只由$4$和$7$组成，比如$4$，$7$，$47$。 定义幸运数字只由$4$和$7$组成，比如$4$，$7$，$47$。
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+给一棵树，要我们找到三元组$(i,j,k)$，两两之间的路径中必须要有一条由幸运数字组成的边。问，存在多少组这样的三元组。
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+### 二、解题思路
+幸运数字好处理，$check$一下。关键是怎么找出贡献。
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+统计树上方案数，**一般先固定一个点**，比如$i$，然后再找另外两个点$j$和$k$，算出$i$这个点对应的贡献。
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+- 设$s[i]$为以$i$为根节点的子树中，有几个点到$i$的路径中存在幸运数字
+- 设$f[i]$为以$i$为根节点的子树外，有几个点到$i$的路径中存在幸运数字
+
+这样，我们的 $j$ 和 $k$ 的选择就可以在$f$中选择,或者$g$中选择,或者在$f$和 $g$中选择。
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+即$i$的贡献为
+$$\large s[i]*(s[i]-1)+f[i]*(f[i]-1)+s[i]*f[i]*2$$
+
+**解释**:
+- $s[i]*(s[i]-1)$ $j,k$都在以$i$为根节点的子树中
+- $f[i]*(f[i]-1)$ $j,k$都在以$i$为根节点的子树外
+- $s[i]*f[i]$ $j$在$i$为根节点的子树中，$k$在$i$为根节点的子树外
+- $f[i]*s[i]$ $k$在$i$为根节点的子树中，$j$在$i$为根节点的子树外
+
+然后就是处理$f$和$g$。
+
+#### $dfs$过程中
+
+<font color='red' size=4><b>这些式子也还是都是满满的套路啦</b></font>
+
+- 如果$u$和$v$的边是幸运数字，则$s[u]+=sz[v]$,否则$s[u]+=s[v]$
+  
+- 如果$v$和$u$的边是幸运数字，则$f[v]+=sz[1]-sz[v]$,否则$f[v]+=f[u]+s[u]−s[v]$
+
+ 所以要先$dfs$一遍预处理$s$和$sz$，然后$dfs$一遍处理$f$，最后统计方案。
+
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/30e9bc166d9b004c5954763674273a5f.png)
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+### 三、实现代码
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+typedef long long LL;
+const int N = 1e6 + 10, M = N << 1;
+
+// 链式前向星
+int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
+void add(int a, int b, int c = 0) {
+    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
+}
+
+LL s[N], f[N];
+int sz[N];
+int st[N];
+
+void dfs1(int u) {
+    st[u] = 1;
+    sz[u] = 1; // u节点自己加入
+    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+        int v = e[i];
+        if (st[v]) continue;
+        // 先执行噢
+        dfs1(v);
+        // 统计u子树中节点数量
+        sz[u] += sz[v];
+        // 幸运边
+        if (w[i])
+            s[u] += sz[v]; // v子树中所有节点，都可以为s[u]贡献力量
+        else
+            s[u] += s[v]; // v这个点是指望不上的，它的子树中的贡献力量
+    }
+}
+
+void dfs2(int u) {
+    st[u] = 1;
+    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+        int v = e[i];
+        if (st[v]) continue;
+        if (w[i])                 // 幸运边
+            f[v] = sz[1] - sz[v]; // 容斥原理
+        else
+            f[v] = f[u] + s[u] - s[v]; // 还是容斥原理吧~
+        // 最后执行噢
+        dfs2(v);
+    }
+}
+
+// 幸运数字是由 4 和 7 组成的正整数
+int check(int n) {
+    while (n) {
+        if (n % 10 != 4 && n % 10 != 7) return 0;
+        n /= 10;
+    }
+    return 1;
+}
+
+int main() {
+    memset(h, -1, sizeof h);
+    int n;
+    cin >> n;
+    for (int i = 1; i < n; i++) { // n-1条边
+        int a, b, c;
+        cin >> a >> b >> c;
+        c = check(c); // 如果一条边的权值是一个幸运数字，那么我们就说这条边是一条幸运边
+        add(a, b, c), add(b, a, c);
+    }
+    memset(st, 0, sizeof st);
+    dfs1(1);
+    memset(st, 0, sizeof st);
+    dfs2(1);
+
+    LL ans = 0;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += s[i] * (s[i] - 1) + f[i] * (f[i] - 1) + s[i] * f[i] * 2;
+    printf("%lld\n", ans);
+    return 0;
+}
+```