'commit'

TangDou/AcWing/DP/Tree/P4084.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+##[$P4084$ $Barn$ $Painting$ $G$](https://www.luogu.com.cn/problem/P4084)
+
+### 一、题目描述
+给定一颗$N$个节点组成的树，$3$种颜色，其中$K$个节点已染色，要求任意两相邻节点颜色不同，求合法染色方案数。
+
+### 二、解题思路
+
+树形计数类$DP$
+
+**状态表示**
+设$f[u][j]$表示将$u$染色为$j$时，$u$这棵子树的方案数
+
+**状态转移**
+$$\large f[u][j]=\prod_{v \in son[u]} \sum_{k \neq j}f[v][k]$$
+
+**初始化**
+$f[u][j]=1$
+特别的，当$u$已被染色为$j$时，$f[u][k]=0（k!=t）$。
+
+**答案**
+$\large f[1][0]+f[1][1]+f[1][2]$
+
+**小结**
+树上$DP$求方案数的特点是对于$u$求出不包含$u$的子树方案，因为子树间互不相干，所以将$u$的子节点的子树 **所有方案之和** 乘起来就是 $u$子树的方案数 了。对于$u=root$，就是我们要求的总方案数。请注意其中加法原理和乘法原理的穿插运用。
+
+
+### 三、实现代码
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+const LL mod = 1e9 + 7;
+const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;
+
+int n, m;
+int color[N]; // 值域1~3
+
+// 链式前向星
+int e[M], h[N], idx, ne[M];
+void add(int a, int b) {
+    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
+}
+
+LL f[N][4]; // 设f[u][j]表示将u染色为j时，u这棵子树的方案数
+int st[N];  // 是不是访问过
+
+void dfs(int u) {
+    st[u] = 1; // 标识已访问
+    // 初始化
+    if (color[u])
+        // 当某个节点被指定上色后，那么该节点另外两种颜色的方案数为0
+        // 例如:当点u被指定上色2时：f[u][1]=0,f[u][3]=0 (因为无法上色1和3）
+        f[u][color[u]] = 1;
+    else
+        f[u][1] = f[u][2] = f[u][3] = 1; // 三种颜色都可以染
+
+    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+        int v = e[i];
+        if (st[v]) continue;
+        dfs(v);
+        // 对于每个节点，因为不能于子节点上色相同
+        f[u][1] = (f[u][1] * (f[v][2] + f[v][3]) % mod) % mod;
+        f[u][2] = (f[u][2] * (f[v][1] + f[v][3]) % mod) % mod;
+        f[u][3] = (f[u][3] * (f[v][1] + f[v][2]) % mod) % mod;
+    }
+}
+
+int main() {
+    memset(h, -1, sizeof h);
+    cin >> n >> m;
+
+    for (int i = 1; i < n; i++) {
+        int a, b;
+        cin >> a >> b;
+        add(a, b), add(b, a);
+    }
+
+    while (m--) {
+        int u, c;
+        cin >> u >> c;
+        color[u] = c; // u节点被染过色,颜色为c
+    }
+
+    dfs(1);
+
+    printf("%lld\n", (f[1][1] + f[1][2] + f[1][3]) % mod);
+    return 0;
+}
+```