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TangDou/AcWing/Divisor/870.md

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+##[$AcWing$ $870$. 约数个数](https://www.acwing.com/problem/content/description/872/)
+
+### 一、题目描述
+给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。
+
+**输入格式**
+第一行包含整数 $n$。
+
+接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。
+
+**输出格式**
+输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 $10^9+7$ 取模。
+
+**数据范围**
+$1≤n≤100,1≤a_i≤2×10^9$
+
+**输入样例：**
+```cpp {.line-numbers}
+3
+2
+6
+8
+```
+
+**输出样例：**
+```cpp {.line-numbers}
+12
+```
+
+### 二、约数个数公式
+
+如果$n$的唯一分解式： $$\LARGE n={p_1}^{r_1}\cdot  {p_2}^{r_2} \cdot ...  \cdot {p_k}^{r_k}$$ 
+
+**$n$的约数个数公式：**
+$$\large d(n) = (r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1)$$
+
+#### 证明
+以$p_1$为例，这个质数因子，可以选择$0$个，可以选择$1$个，...,最多可以选择$r_1$个，就是有$r_1+1$种选择的可能性，其它$p_2,p_3,...,p_k$都是如此，根据**乘法原理**，所有的可能性就是$(r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1)$。
+
+**举个栗子：**
+$180= 2^2 * 3^2 * 5$
+
+约数个数$=(1+2) * (1+2) * (1+1) =18$
+
+### 三、求数字连乘积的约数个数
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+#define int long long
+typedef pair<int, int> PII;
+
+const int N = 110;
+const int MOD = 1e9 + 7;
+
+unordered_map<int, int> primes;
+int n;
+
+signed main() {
+    cin >> n;
+    while (n--) {
+        int x;
+        cin >> x;
+        for (int i = 2; i <= x / i; i++)
+            while (x % i == 0) {
+                x /= i;
+                primes[i]++;
+            }
+        if (x > 1) primes[x]++;
+    }
+
+    int res = 1;
+    for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % MOD;
+
+    printf("%lld\n", res);
+}
+```
+
+### 四、求单个数字的约数个数
+求连乘积的都会了的话，这个就简单了，不就是$n=1$时的情况吗？不多说了~