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2025-08-30 18:35:01 +08:00
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--- a/TangDou/AcWing/EulerPath/LianTongXing/图的连通性判断.md
+++ b/TangDou/AcWing/EulerPath/LianTongXing/图的连通性判断.md
@@ -0,0 +1,229 @@
+## 图的连通性判断
+
+#### 总结
+- 常用的判连通办法有四种，分别是并查集、$dfs$、$bfs$、$floyd$
+- 最常用的是$dfs$、并查集
+- 前三种适合稀疏图，$floyd$适合稠密图
+
+### 一、并查集
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 1010; // 图的最大点数量
+/**
+ 共提供两组数据，样例1为不连通用例，样例2为连通用例
+
+ 样例1：不连通，5号结点为独立的
+ 5 4
+ 1 2
+ 2 3
+ 3 4
+ 1 4
+
+ 样例2：连通，不存在独立结点
+ 5 4
+ 1 2
+ 2 3
+ 3 4
+ 1 5
+
+ 检测各种算法是否能准确获取结果
+ */
+int n;    // n个人
+int m;    // m个亲戚
+int x, y; // 输入两个人之间的关系
+int p[N]; // 并查集数组
+// 要深入理解这个递归并压缩的过程
+int find(int x) {
+    if (p[x] != x)         // 如果x不是族长,递归找父亲,副产品就是找回的结果更新掉自己的家族信息。
+        p[x] = find(p[x]); // 非常经典的更新,路径压缩大法！
+    // 返回族长是谁
+    return p[x];
+}
+
+int cnt;
+
+int main() {
+#ifndef ONLINE_JUDGE
+    // freopen("BCJ1.in", "r", stdin);
+    freopen("BCJ2.in", "r", stdin);
+#endif
+    // n个人员，m个关系
+    cin >> n >> m;
+    // 并查集初始化
+    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; // 自己是自己的老大
+    // 录入m种关系,使用并查集来判断图的连通性
+    for (int i = 1; i <= m; i++) {
+        cin >> x >> y;
+        // 加入并查集
+        int px = find(x), py = find(y);
+        if (px != py) p[px] = py;
+    }
+    // 图已经搭好了，接下来看它们根节点是否相同，如只有一个相同的根节点，则说明是一个连通图
+    for (int i = 1; i <= n; i++)
+        if (p[i] == i) cnt++;
+
+    if (cnt == 1)
+        printf("图是连通的\n");
+    else
+        printf("图不是连通的\n");
+    return 0;
+}
+```
+### 二、$dfs$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 1010, M = N << 2; // 图的最大点数量
+// 链式前向星
+int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
+void add(int a, int b, int c = 0) {
+    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
+}
+int n, m; // 表示图中有n个点，m条边
+bool st[N];
+int cnt;
+// 深度遍历
+void dfs(int u) {
+    st[u] = 1;
+    cnt++; // 多走了一个结点
+    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+        int v = e[i];
+        if (!st[v])
+            dfs(v);
+    }
+}
+
+int main() {
+#ifndef ONLINE_JUDGE
+    freopen("in1.in", "r", stdin);
+    // freopen("in2.in", "r", stdin);
+#endif
+    // 初始化链式前向星
+    memset(h, -1, sizeof h);
+    // 采用邻接表建图
+    cin >> n >> m;
+    // m条边
+    for (int i = 1; i <= m; i++) {
+        int a, b;
+        cin >> a >> b;
+        add(a, b);
+    }
+
+    // 利用dfs进行检查是不是强连通的
+    dfs(1);
+
+    if (cnt == n)
+        printf("图是连通的\n");
+    else
+        printf("图不是连通的\n");
+    return 0;
+}
+```
+### 三、$bfs$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 1010, M = N << 2; // 图的最大点数量
+int n, m;                       // 表示图中有n个点，m条边
+bool st[N];
+int cnt;
+
+// 链式前向星
+int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
+void add(int a, int b, int c = 0) {
+    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
+}
+int main() {
+#ifndef ONLINE_JUDGE
+    freopen("in1.in", "r", stdin);
+    // freopen("in2.in", "r", stdin);
+#endif
+    // 初始化链式前向星
+    memset(h, -1, sizeof h);
+    // 采用邻接表建图
+    cin >> n >> m;
+    // m条边
+    for (int i = 1; i <= m; i++) {
+        int a, b;
+        cin >> a >> b;
+        add(a, b);
+    }
+    // 利用bfs进行检查是不是强连通的
+    // 把1号结点放入队列
+    queue<int> q;
+    q.push(1);
+
+    while (q.size()) {
+        int u = q.front();
+        q.pop();
+        st[u] = 1;
+        cnt++;
+
+        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+            int v = e[i];
+            if (!st[v])
+                q.push(v);
+        }
+    }
+
+    if (cnt == n)
+        printf("图是连通的\n");
+    else
+        printf("图不是连通的\n");
+    return 0;
+}
+```
+### 四、$floyd$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 1010; // 图的最大点数量
+int n, m;
+
+// 用floyd来判断起点是否可以达到终点
+int g[N][N]; // 邻接矩阵
+void floyd() {
+    for (int k = 1; k <= n; k++)
+        for (int i = 1; i <= n; i++)
+            for (int j = 1; j <= n; j++)
+                g[i][j] = g[i][j] || (g[i][k] && g[k][j]);
+}
+
+int main() {
+#ifndef ONLINE_JUDGE
+    freopen("in1.in", "r", stdin);
+    // freopen("in2.in", "r", stdin);
+#endif
+
+    // 采用邻接矩阵建图
+    cin >> n >> m;
+    // m条边
+    for (int i = 1; i <= m; i++) {
+        int a, b;
+        cin >> a >> b;
+        // 双向建边
+        g[a][b] = 1, g[b][a] = 1;
+    }
+    // 调用floyd
+    floyd();
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++)
+        for (int j = 1; j <= n; j++)
+            if (!g[i][j]) {
+                printf("图不是连通的\n");
+                cout << i << " " << j << endl;
+                exit(0);
+            }
+    printf("图是连通的\n");
+    return 0;
+}
+```