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TangDou/AcWing/LIS/3549.md

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+## [$AcWing$ $3549$. 最长非递减子序列 ](https://www.acwing.com/problem/content/description/3552/)
+
+### 一、题目描述
+给定一个长度为 $n$ 的数字序列 $a_1,a_2,…,a_n$，序列中只包含数字 $1$ 和 $2$。
+
+现在，你要选取一个区间 $[l,r](1≤l≤r≤n)$，将 $a_l,a_{l+1},…,a_r$ 进行翻转，并且使得到的新数字序列 $a$ 的最长非递减子序列的长度尽可能长。
+
+请问，这个最大可能长度是多少？
+
+一个非递减子序列是指一个索引为 $p_1,p_2,…,p_k$的序列，满足 $p_1<p_2<…<p_k$ 并且 $a_{p1}≤a_{p2}≤…≤a_{pk}$，其长度为 $k$。
+
+**输入格式**
+
+第一行一个整数 $n$。
+
+第二行 $n$个空格隔开的数字 $1$ 或 $2$，表示 $a_1,…,a_n$。
+
+**输出格式**
+
+输出一个整数，表示得到的新数字序列 $a$ 的最长非递减子序列的最大可能长度。
+
+**数据范围**
+
+对于 $30\%$ 的数据，$1≤n≤100$。
+对于 $100\%$ 的数据，$1≤n≤106$。
+
+本题读入数据规模较大，需注意优化读入。
+$C++$ 尽量使用 $scanf$ 读入，$Java$ 尽量使用 $BufferedReader$ 读入。
+
+**输入样例**$1$：
+```cpp {.line-numbers}
+4
+1 2 1 2
+```
+
+**输出样例1**：
+```cpp {.line-numbers}
+4
+```
+
+
+**输入样例2**：
+```cpp {.line-numbers}
+10
+1 1 2 2 2 1 1 2 2 1
+```
+
+**输出样例2**：
+```cpp {.line-numbers}
+9
+```
+
+### 二、从简化题目出发（求只含12的序列长度）
+
+首先我是考虑的求出该序列的最长非递减子序列
+
+其实只有 $2$ 种状态
+- $1111111$…
+ 只可能由 $111111$… 这种状态转移而来
+
+- $111111112222222222$…
+ 可能由 $11111111$… 转移而来
+ 也可能由 $111112222$… 转移而来
+
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230506130926.png)
+
+#### $Code$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    int n;
+    cin >> n;
+    int s1 = 0, s2 = 0;
+    while (n--) {
+        int x;
+        cin >> x;
+        if (x == 1) {
+            s1++; // 如果当前数字是 1，则状态1的长度加1
+        } else {
+            s2 = max(s1 + 1, s2 + 1); // 如果当前数字为2，可能由两种状态转移而来
+        }
+    }
+    cout << max(s1, s2) << endl;
+    return 0;
+}
+```
+
+### 三、回归题目（包括反转）
+
+对于本题目而言，比上述的简单模型多加了一个条件：可以进行反转操作。
+
+这就意味着，我们可以求一个形如：$111111222222111111222222$的子序列，然后进行反转操作让其变成 $1111111112222222$…的子序列
+
+现在我们开始枚举状态：
+
+- $1111111$....
+ 只能通过 $111111$…转移
+
+- $(111111)2…$
+ 可以通过 $1111111$… 转移（仅限于转移到 $111111111111..2$ 这种状态）
+ 也可通过 $(11111)2222222$…转移
+
+- $(111111122222)11111$…
+ 可以通过 $11111111222222$… 转移（仅限于转移到 $11111112222222..1$ 状态）
+ 也可以通过 $(111111122222)11111$…转移
+
+- $(111111122222221111111)22222$…
+  - 可以通过 $(111112222)111$… 转移（仅限于转移到 $1111222222111111..2$ 状态）
+  - 也可以通过 $(111111122222221111111)22222$… 转移
+
+#### $Code$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+int main() {
+    // 加快读入
+    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
+    int s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0;
+    int n;
+    cin >> n;
+    while (n--) {
+        int x;
+        cin >> x;
+        if (x == 1) {
+            s1++;
+            s3 = max(s2 + 1, s3 + 1);
+        } else {
+            s2 = max(s1 + 1, s2 + 1);
+            s4 = max(s3 + 1, s4 + 1);
+        }
+    }
+    cout << max({s1, s2, s3, s4}) << endl;
+    return 0;
+}
+```