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TangDou/AcWing/LineDP/902.md

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+##[$AcWing$ $902$. 最短编辑距离](https://www.acwing.com/problem/content/description/904/)
+
+### 一、题目描述
+给定两个字符串 $A$ 和 $B$，现在要将 $A$ 经过若干操作变为 $B$，可进行的操作有：
+
+1. 删除–将字符串 $A$ 中的某个字符删除。
+2. 插入–在字符串 $A$ 的某个位置插入某个字符。
+3. 替换–将字符串 $A$ 中的某个字符替换为另一个字符。
+
+现在请你求出，将 $A$ 变为 $B$ 至少需要进行多少次操作。
+
+**输入格式**
+第一行包含整数 $n$，表示字符串 $A$ 的长度。
+
+第二行包含一个长度为 $n$ 的字符串 $A$。
+
+第三行包含整数 $m$，表示字符串 $B$ 的长度。
+
+第四行包含一个长度为 $m$ 的字符串 B。
+
+字符串中均只包含大小写字母。
+
+**输出格式**
+输出一个整数，表示最少操作次数。
+
+**数据范围**
+$1≤n,m≤1000$
+
+**输入样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+10 
+AGTCTGACGC
+11 
+AGTAAGTAGGC
+```
+**输出样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+4
+```
+
+
+### 二、解题思路
+
+与$LCS$（最长公共子序列）问题的状态表示是很接近的。
+
+![QQ截图20210315105007.png](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/15/64630_a5de8f6c85-QQ截图20210315105007.png) 
+
+#### 状态表示
+
+$f[i,j]$：$a[1..i]$变成$b[1..j]$的操作步数。
+
+现在要求的是：两个字符串的最短编辑距离，由于我们不知道最短编辑距离是多少，就希望知道 **当前状态是从哪些状态转移过来**，前面的状态可以通过 **增加、删除、修改转移过来** 。
+
+#### 属性
+
+操作数的最小值，$min$。
+
+#### 状态计算
+
+按题意划分为删除，增加，修改,相等四种情况
+
+
+- 删除：把$a[i]$删掉之后$a[1\sim i]$和$b[1\sim j]$匹配.所以没删除之前，就有$a[1 \sim i-1]$与$b[1 \sim j]$匹配
+  
+$$\large f[i][j]=f[i-1][j] + 1$$
+
+- 插入：插入之后$a[i]$与$b[j]$完全匹配，所以插入的就是$b[j]$,那填之前$a[1\sim i]$和$b[1\sim (j-1)]$匹配
+$$\large f[i][j]=f[i][j-1] + 1$$ 
+
+- 替换：把$a[i]$改成$b[j]$之后想要$a[1\sim i]$与$b[1\sim j]$匹配,那么修改这一位之前，$a[1\sim (i-1)]$应该与$b[1\sim (j-1)]$匹配
+$$\large f[i][j]=f[i-1][j-1] + 1$$
+
+- 相等：如果本来$a[i]$与$b[j]$这一位上就相等，那么不用改，即
+$$\large f[i][j]=f[i-1][j-1]$$
+
+**结论**
+
+$$f[i][j]   =   min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+(a[i]  ==  b[j]?0:1))$$  
+
+####  初始化
+
+细节问题：初始化怎么搞
+
+先考虑有哪些初始化嘛
+
+![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/01/98e5af3dd29fbb0d4ba00f103748d053.png)
+
+
+- $f[0][i]$:如果$a$初始长度就是$0$，那么只能用插入操作让它变成$b$
+
+- $f[i][0]$:如果$b$的长度是$0$，那么$a$只能用删除操作让它变成$b$
+
+- $f[i][j]$ = $INF$ 其它初始化为$INF$
+
+### 二、实现代码
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 1010;
+int n, m;
+char a[N], b[N];
+int f[N][N];
+
+// 最短编辑距离
+int main() {
+    cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;
+
+    // 初始化
+    for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = i;
+    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;
+
+    for (int i = 1; i <= n; i++)
+        for (int j = 1; j <= m; j++) {
+            // 增加和删除
+            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
+            // 修改
+            if (a[i] == b[j])
+                f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
+            else // 相等
+                f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
+        }
+
+    cout << f[n][m] << endl;
+    return 0;
+}
+```