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HuangHai
2025-08-30 18:35:01 +08:00
commit 1f397eca87
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44
TangDou/AcWing/Math/RongChi/HDU1796.cpp Normal file
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@@ -0,0 +1,44 @@
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int N = 15;
vector<int> p;
// 最小公倍数
int lcm(int a, int b) {
return a * b / __gcd(a, b);
}
signed main() {
int n, m;
while (cin >> m >> n) { // n个数，求[1~m)中有多少个数能被整除集合中的数字整除
m--; // small than m 注意细节
p.clear(); // 多组测试数据，注意清0
for (int i = 0; i < n; i++) { // n个数字组成的序列
int x;
cin >> x;
if (x) p.push_back(x); // 排除掉数字0,0不能做除数
}
int s = 0;
for (int i = 1; i < (1 << p.size()); i++) {
int cnt = 0;
int t = 1;
for (int j = 0; j < p.size(); j++) {
if (i >> j & 1) {
cnt++;
t = lcm(t, p[j]); // 这里不是简单的相乘，而是求的最小公倍数
}
}
if (cnt & 1)
s += m / t;
else
s -= m / t;
}
cout << s << endl;
}
}

54
TangDou/AcWing/Math/RongChi/HDU4135.cpp Normal file
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@@ -0,0 +1,54 @@
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
// 返回1-m中与n互素的数的个数
vector<int> p;
int cal(int n, int m) {
// 多组测试数据,清空
p.clear();
// 对n分解质因数
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
p.push_back(i);
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) p.push_back(n); // 最后一个大因子，也加入
int s = 0; // 1到m中与n不互素的数的个数
// 枚举子集，不能有空集，所以从1开始
for (int i = 1; i < 1 << p.size(); i++) { // 从1枚举到(2^素因子个数)
int cnt = 0;
int t = 1;
for (int j = 0; j < p.size(); j++) { // 枚举每个素因子
if (i & (1 << j)) { // 有第i个因子
cnt++; // 计数
t *= p[j]; // 乘上这个质因子
}
}
// 容斥原理
if (cnt & 1) // 选取个数为奇数，加
s += m / t;
else // 选取个数为偶数，减
s -= m / t;
}
return m - s; // 返回1-m中与n互素的数的个数
}
signed main() {
int T, ca = 0;
cin >> T;
while (T--) {
int m, a, b;
cin >> a >> b >> m; // 求区间[a,b]中与m互素的数字个数
// 计算[1,a-1]之间与m互素的个数
// 计算[1, b]之间与m互素的个数
int ans = cal(m, b) - cal(m, a - 1);
printf("Case #%d: %lld\n", ++ca, ans);
}
}

85
TangDou/AcWing/Math/RongChi/HDU4135.md Normal file
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@@ -0,0 +1,85 @@
[题目链接](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4135)
https://blog.csdn.net/qq_40507857/article/details/82788443
> 题意：求区间`[a,b]`中与`m`互素的数字个数
### 一、题目分析
考虑`[1,a-1]`和`[1,b]`两个区间与`m`互素的个数，答案就是二者之差(**类似前缀和？**)。
<font color='red'><b>容斥原理经典问题</b></font>：求`1-n`中与`m`互素的数的个数
互素的个数等于总数减去不互素的个数,如果$1-n$中某个数与$m$不互素，那么一定可以被$m$的某个因子整除，所以先枚举$m$的所有素因子。
举个例子，$m=12,n=8$，$12$的素因子是$2，3$，
$1\sim 8$中有几个是$2$的倍数呢？$S_2=8/2=4$;
$1\sim 8$中有几个是$3$的倍数呢？$S_3=8/3=2$;
$1\sim 8$之间与$12$互素的个数是$2+4=6$个数字吗？
$1\sim 8$之间与$12$不互素的是$2，3，4，6，8$，共$5$个数字，这是因为同为$2$和$3$的倍数的$6$被计算了两次，所以要再减去一次$S_6=8/6=1$,结果是 $$\large 8/2+8/3-8/(2*3)=4+2-1=5$$
这是经典的容斥原理啊，如果是奇数个组合，那么符号是`+`；如果是偶数个组合，那么符号是`-`；
### 二、实现代码
```c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
//返回1-m中与n互素的数的个数
vector<LL> p;
LL cal(LL n, LL m) {
p.clear();
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
p.push_back(i);
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) p.push_back(n); //求n的素因子
int num = p.size(); //素因子的个数
LL s = 0; // 1到m中与n不互素的数的个数
//枚举子集，不能有空集，所以从1开始
for (LL i = 1; i < 1 << num; i++) { //从1枚举到(2^素因子个数)
LL cnt = 0;
LL t = 1;
for (LL j = 0; j < num; j++) { //枚举每个素因子
if (i & (1 << j)) { //有第i个因子
cnt++; //计数
t *= p[j]; //乘上这个质因子
}
}
//容斥原理
if (cnt & 1) //选取个数为奇数，加
s += m / t;
else //选取个数为偶数，减
s -= m / t;
}
return m - s; //返回1-m中与n互素的数的个数
}
int main() {
//加快读入
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int T, ca = 0;
cin >> T;
while (T--) {
LL m, a, b;
cin >> a >> b >> m; //求区间[a,b]中与m互素的数字个数
//计算[1,a-1]之间与m互素的个数
//计算[1, b]之间与m互素的个数
LL ans = cal(m, b) - cal(m, a - 1);
printf("Case #%d: %lld\n", ++ca, ans);
}
return 0;
}
```

34
TangDou/AcWing/Math/RongChi/Test.cpp Normal file
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@@ -0,0 +1,34 @@
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const int N = 20;
int a[N];
int n, m;
int res;
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i < 1 << m; i++) {
int s = 1, c = 0;
for (int j = 0; j < m; j++)
if (i >> j & 1) {
if ((LL)s * a[j] > n) {
s = 0;
break;
}
s *= a[j];
c++;
}
if (s) {
if (c & 1)
res += n / s;
else
res -= n / s;
}
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}

1
TangDou/AcWing/Math/RongChi/UVA11806.cpp Normal file
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@@ -0,0 +1 @@
// TODO

62
TangDou/AcWing/Math/RongChi/取整函数及其性质.md Normal file
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@@ -0,0 +1,62 @@
## 取整函数及其性质
### 1、取整函数定义及分类
取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。
常用的取整函数有两个，分别是**下取整**函数和**上取整**函数。
* [Floor and ceiling functions - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions#Number_of_digits)
* [Useful Properties of the Floor and Ceil Functions](https://janmr.com/blog/2009/09/useful-properties-of-the-floor-and-ceil-functions/)
下取整函数在数学中一般记作$\left \lfloor x \right \rfloor$，比自己小的最大整数，在计算机科学中一般记作$floor(x)$；
上取整函数在数学中一般记作$\left \lceil x \right \rceil$，比自己大的最小整数，在计算机科学中一般记作$ceil(x)$。
### 2、性质：(仅列举计算机学习中经常用到的性质)
* 任意实数$x$,有: $x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1$
<br>
* 下取整函数为等幂运算: $\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor.$
<br>
* 对任意的整数 $k$ 和任意实数 $x$，$\left \lfloor k+x \right \rfloor = k + \left \lfloor x \right \rfloor$
<br>
* 一般的数值修约规则可以表述为将$x$映射到 $floor(x + 0.5)$。
<br>
* $\left \lceil x \right \rceil = - \left \lfloor -x \right \rfloor$
<br>
* 对于整数$k$有：$\left \lfloor k/2 \right \rfloor + \left \lceil k/2 \right \rceil = k$
### 3、对数与取整函数的关系
二者关系为:
$\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = \left \lfloor \log x \right \rfloor +1, x\in Z, x\geqslant 1$
**证明：**
令$m = \left \lfloor \log x \right \rfloor$，
则 $m \leq \log x < m+1$ ①
由式①可得
$2^{m} \leq x < 2^{m+1}$ ②,
进而可得
$2^{m} < x+1 \leq 2^{m+1}$
因为 $x\in Z$, 所以 $m < \log (x+1) \leq m+1$.
所以 $\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = m+ 1= \left \lfloor \log x \right \rfloor + 1$.
### 4、向下取整与向上取整的转换方法
我们知道，一般在程序语言中，两个整数相除都是向下取整。例如，$5/3=1,2/3=0$；
那么向上取整该如何表示呢，也就是说，**向上取整能不能通过向下取整的方式来表达**？
当然可以，下面是转换公式：
<center><img src='https://img-blog.csdn.net/20140113090723046'></center>