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2025-08-30 18:35:01 +08:00
commit 1f397eca87
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71
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858.cpp Normal file
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@@ -0,0 +1,71 @@
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N]; // 这个点到集合的距离
bool st[N]; // 是不是已经使用过
int res; // 最小生成树里面边的长度之和
// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
// 距离初始化无穷大,表示所有结点都在生成树之外
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
dis[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
/*
1、找到集合外，距离集合最近的点，记为t,此时有两种情况进行猴子选大王：
（1）首次查找,此时还没有大王，那么，默认第一个找到的就是大王
（2）非首次查找,那么PK距离最小的成为大王
*/
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
/*2、如果不是第一个点，并且剩余的点距离集合的最小距离是INF，说明现在没有点可以连通到生成树，
这时不是连通图，没有最小生成树，返回INF
如果是第一个点，因为把它加到集合中去的代码是在下面进行的，此时它也没有被加入到集合中去，所以dist[t]=INF,这时不能说无解
因为才刚刚开始，需要特判一下
*/
if (i && dis[t] == INF) return INF;
// 3、同上，这里也需要特判一下是不是第1个节点，第一个节点不用加边权值，其它的需要加
if (i) res += dis[t];
// 4、因为本轮选择的是结点t,那么用t更新其它未加入到集合中点到集合的距离
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && dis[j] > g[t][j])
dis[j] = g[t][j];
// 5、把t放到集合中
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
// 所有点之间的距离初始化为正无穷，然后再读入所有边
memset(g, 0x3f, sizeof g);
// 读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
// 允许重复，构建双向有向成为无向图,同时保留最小的
}
int t = prim(); // 普利姆算法
// 输出结果
if (t == INF) puts("impossible");
// 不存在生成树，比如所有点不连通的情况下
else
cout << t << endl; // 否则输出t
return 0;
}

257
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858.md Normal file
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@@ -0,0 +1,257 @@
##[$AcWing$ $858$. $Prim$算法求最小生成树](https://www.acwing.com/problem/content/description/860/)
### 一、题目描述
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 `impossible`。
给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。
由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。
**输入格式**
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。
**输出格式**
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 `impossible`。
**数据范围**
$1≤n≤500,1≤m≤10^5$,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $10000$。
**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
```
**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
6
```
#### 二、解题思路
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210924143402279-1678416175.png)
#### 最小生成树
* **最小生成树一般是说的无向图**，有向图的最小生成树一般不会用到。
* 连通图：在**无向图中**，若**任意两个顶点**$v_i$与$v_j$**都有路径相通**，则称该无向图为连通图。
* 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为**权**；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做**连通网**。
* 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部$n$个顶点，但只有足以构成一棵树的$n-1$条边。一颗有$n$个顶点的生成树有且仅有$n-1$条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
* **最小生成树**：在连通网的所有生成树中，**所有边的代价和最小的生成树**，称为最小生成树。 一个无向图可以有多个最小生成树，但最小生成树的边权和一定是最小的。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202110/8562-20211019095723109-1585926248.png)
**实际的场景**：
比如$N$个城市，需要根据实际情况建高铁，我们知道这些城市之间有些是相通的，距离也知道，有些城市之间是不通的，也不打算建高铁。那么，我们如何能知道怎么建设高铁的路线使用城市之间全能连通，并且**路线和**最小呢？因为这样才省钱，还能保证所有城市联通啊！
### 三、$Prim$算法
和$dijkstra$非常相似,$dijkstra$算法是计算到顶点的距离，而$Prim$算法是计算到集合的距离，下面详细讲解：
比如本题:稠密图，节点个数$500$,边数$10^5$,好多的边啊，所以需要定义$g[N][N]$, $500*500=250000 > 10^5 $。
$prim$ 算法采用的是一种 **贪心** 的策略,每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。
#### 算法步骤
1. 把所有距离`dis[N]`初始化为$INF$。
2. 用一个 `pre` 数组保存节点的前驱节点是谁。`pre[i] = k` 表示节点 `i` 和节点 `k` 之间需要有一条边。初始时，`pre` 的各个元素置为 `-1`。
3. 循环$n$次，将所有点准备加入到集合中。
- 找出不在集合中的(`!st[j]`)距离集合最近的点`dis[j]`，如果是有多个距离一样近，那么选择号小的那个,命名为`t`。
- 累加最小权值
- 利用$t$更新未加入集合中的其它各点到集合的最短距离
- 将$t$加入到集合中
#### 模拟流程
我们将图中各个节点用数字 $1 \sim n$ 编号。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_508d58977c-05.png'>
1. 要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：
用一个 $st$ 数组表示节点是否已经连通。$st[i]$ 为真，表示已经连通，$st[i]$ 为假，表示还没有连通。初始时，$st$ 各个元素为假。即所有点还没有连通。
用一个 $dis$ 数组保存各个点到连通部分的最短距离，$dis[i]$ 表示 $i$ 节点到连通部分的最短距离。初始时，$dis$ 数组的各个元素为无穷大。
用一个 $pre$ 数组保存节点的是和谁连通的。$pre[i] = k$ 表示节点 $i$ 和节点 $k$ 之间需要有一条边。初始时，$pre$ 的各个元素置为 $-1$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_3e1d300c7c-06.png'>
2. 从 $1$ 号节点开始扩充连通的部分，【之所以从一号结点开始，是因为大家都是距离集合正无穷，那么号小的优先！】，所以 $1$ 号节点与连通部分的最短距离为 $0$，即$dis[i]$ 值为 0。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_86b312a17c-07.png'>
3. 遍历 $dis$ 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 $t$。$t$节点就是下一个应该加入连通部分的节点，$st[t]$ 置为 $true$。
用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小的是 $dis[1]$，因此 $st[1]$ 置为 $true$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_23b31ed37c-08.png'>
4.遍历所有与 $t$ 相连但没有加入到连通部分的点 $j$，如果 $j$ 距离连通部分的距离大于 $t \sim j$ 之间的距离，即 $dis[j] > g[t][j]$（$g[t][j]$ 为 $t \sim j$ 节点之间的距离），则更新 $dis[j]$ 为 $g[t][j]$。这时候表示，$j$ 到连通部分的最短方式是和 $t$ 相连，因此，更新$pre[j] = t$。
与节点 $1$ 相连的有 $2$， $3$， $4$ 号节点。$1 \rightarrow 2$ 的距离为 $100$，小于 $dis[2]$，$dis[2]$ 更新为 $100$，$pre[2]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 4$ 的距离为 $140$，小于 $dis[4]$，$dis[4] $更新为 $140$，$pre[4]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 3$ 的距离为 $150$，小于 $dis[3]$，$dis[3]$ 更新为 $150$，$pre[3]$ 更新为$1$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_370887c27c-09.png'>
5. 重复 $3$, $4$步骤，直到所有节点的状态都被置为 $1$.
这里青色点中距离最小的是 $dis[2]$，因此 $st[2]$ 置为 $1$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_48eb08287c-10.png'>
与节点 $2$ 相连的有 $5$， $4$号节点。$2 \rightarrow 5$ 的距离为 $80$，小于 $dis[5]$，$dis[5]$ 更新为 $80$，$pre[5]$ 更新为 $2$。$2 \rightarrow 4$ 的距离为 $80$，小于 $dis[4]$，$dis[4]$ 更新为 $80$，$pre[4]$ 更新为$2$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_51ea62357c-11.png'>
选$dis[4]$，更新$dis[3]$，$dis[5]$，$pre[3]$，$pre[5]$。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_5d199a9e7c-12.png'>
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_616a0f7a7c-13.png'>
选$dis[5]$，没有可更新的。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_68115c167c-14.png'>
选$dis[3]$，没有可更新的。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_6f7001247c-15.png'>
6.此时 $dis$ 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。$pre$ 数组中保存了需要选择的边。
<img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/04/55289_740316f47c-16.png'>
#### 经验总结
- 最小生成树并不唯一，但它的边权最小值是唯一的。所以，一般没有要求求出最小生成树长成什么样子，而是要求输出最小生成树的边权最小值。
- 因为$Prim$算法需要反复的求每两个点之间的距离，这就决定了 **邻接矩阵更合适**，因为**相对于邻接表，邻接矩阵可以快速提供两个点之间的距离**，而邻接表是链表，想要获取两个点之间的距离就没那么方便。
- 边数较少可以用$Kruskal$,因为$Kruskal$算法每次查找最短的边。 边数较多可以用$Prim$，因为它是每次加一个顶点，对边数多的适用。
### 四、朴素版$Prim$算法代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N]; // 这个点到集合的距离
bool st[N]; // 是不是已经使用过
int res; // 最小生成树里面边的长度之和
// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
// 距离初始化无穷大,表示所有结点都在生成树之外
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
dis[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
/*
1、找到集合外，距离集合最近的点，记为t,此时有两种情况进行猴子选大王：
（1）首次查找,此时还没有大王，那么，默认第一个找到的就是大王
（2）非首次查找,那么PK距离最小的成为大王
*/
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
/*2、如果不是第一个点，并且剩余的点距离集合的最小距离是INF，说明现在没有点可以连通到生成树，
这时不是连通图，没有最小生成树，返回INF
如果是第一个点，因为把它加到集合中去的代码是在下面进行的，此时它也没有被加入到集合中去，所以dist[t]=INF,这时不能说无解
因为才刚刚开始，需要特判一下
*/
if (i && dis[t] == INF) return INF;
// 3、同上，这里也需要特判一下是不是第1个节点，第一个节点不用加边权值，其它的需要加
if (i) res += dis[t];
// 4、因为本轮选择的是结点t,那么用t更新其它未加入到集合中点到集合的距离
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && dis[j] > g[t][j])
dis[j] = g[t][j];
// 5、把t放到集合中
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
// 所有点之间的距离初始化为正无穷，然后再读入所有边
memset(g, 0x3f, sizeof g);
// 读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
// 允许重复，构建双向有向成为无向图,同时保留最小的
}
int t = prim(); // 普利姆算法
// 输出结果
if (t == INF) puts("impossible");
// 不存在生成树，比如所有点不连通的情况下
else
cout << t << endl; // 否则输出t
return 0;
}
```
### 五、带路径输出的$Prim$算法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N]; // 这个点到集合的距离
bool st[N]; // 是不是已经使用过
int res; // 最小生成树里面边的长度之和
int pre[N]; // 前驱结点
// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
memset(pre, -1, sizeof pre); // 记录前驱路径
dis[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树
if (i) res += dis[t];
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) {
dis[j] = g[t][j];
pre[j] = t; // 记录是由谁转移而来
}
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
// 读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if (t == INF)
puts("impossible");
else
cout << t << endl;
// 输出前驱结点
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", pre[i]);
return 0;
}
```

55
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/858_WithPath.cpp Normal file
View File

@@ -0,0 +1,55 @@
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N]; // 这个点到集合的距离
bool st[N]; // 是不是已经使用过
int res; // 最小生成树里面边的长度之和
int pre[N]; // 前驱结点
// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
memset(pre, -1, sizeof pre); // 记录前驱路径
dis[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树
if (i) res += dis[t];
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) {
dis[j] = g[t][j];
pre[j] = t; // 记录是由谁转移而来
}
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
// 读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if (t == INF)
puts("impossible");
else
cout << t << endl;
// 输出前驱结点
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", pre[i]);
return 0;
}

56
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.cpp Normal file
View File

@@ -0,0 +1,56 @@
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n条顶点,m条边
int res; // 最小生成树的权值和
int cnt; // 最小生成树的结点数
// Kruskal用到的结构体
struct Node {
int a, b, c;
bool const operator<(const Node &t) const {
return c < t.c; // 边权小的在前
}
} edge[M]; // 数组长度为是边数
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// Kruskal算法
void kruskal() {
// 1、按边权由小到大排序
sort(edge, edge + m);
// 2、并查集初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// 3、迭代m次
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b)
p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
}
// 4、特判是不是不连通
if (cnt < n - 1) res = INF;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
edge[i] = {a, b, c};
}
kruskal();
if (res == INF)
puts("impossible");
else
printf("%d\n", res);
return 0;
}

155
TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/859.md Normal file
View File

@@ -0,0 +1,155 @@
##[$AcWing$ $859$. $Kruskal$算法求最小生成树](https://www.acwing.com/problem/content/description/861/)
### 一、题目描述
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 `impossible`。
给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。
由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。
**输入格式**
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。
**输出格式**
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 `impossible`。
**数据范围**
$1≤n≤10^5,1≤m≤2∗10^5$,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。
**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
```
**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
6
```
### 二、$Kruskal$算法
#### 1、基本思路：
（1） 将所有边按权重从小到大排序
（2） 枚举每条边 $a \sim b$ ,权重是$c$
```c++
if a,b不在一个集合中 ：
将这条边加入集合中
结束
```
#### 2、与$prim$算法的区别
* 克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，普利姆算法是以点为主导的地位的。
* $prim$算法适合稠密图，$kruskal$算法适合稀疏图。理由也挺简单的，$kruskal$是按边存的，边少就合适，边多就不适合。稀疏图当然边少，稠密图是点少，但边多，边可能达到节点数的平方，即每个节点都与其它节点有边。
#### 3、算法模拟
假如有以下几个城市，之间都有相连的道路：
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/02/25/64630_402245cc77-1.png'></center>
根据$kruskal$的原理，我们需要对边权$dis$进行排序，每次找出最小的边。
排序后，最小的边自然是第$8$条边，于是$4$和$6$相连。
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/02/25/64630_4690dcc877-2.png'></center>
遍历继续，第二小的边是$1$号，$1$和$2$联通。
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/02/25/64630_4e48e92477-3.png'></center>
再后来是边$3$连接$1$,$4$。
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/02/25/64630_5467593477-4.png'></center>
$dis$也是$14$的还有边$5$，它连接$3$,$4$。
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/02/25/64630_5ab3b12a77-5.png'></center>
其次是$dis$为$15$的边$4$，但是$2$和$4$已经相连了，$pass$。
然后是$dis$为$16$的两条边（边$2$和边$9$），边$2$连接$1$和$3$，边$9$连接$3$和$6$，它们都已经间接相连，$pass$。
再然后就是$dis$为$22$的边$10$，它连接$5$和$6$，$5$还没有加入组织，所以使用这边。继续，发现此时已经连接了$n-1$条边，结束，最后图示如下：
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/02/25/64630_63ad1c2277-6.png'></center>
本题与 [https://www.acwing.com/problem/content/839/](https://www.acwing.com/problem/content/839/) 是姊妹题，其实$Kruskal$算法就是一个并查集的应用。
不像$Prim$算法，不用考虑边界，考虑循环$N$次啊，计算最小值啊，还要用堆进行优化啊，这个就是一个并查集，思路简单。
#### 4、疑问与解答
**$Q$:只需要简单结构体即可,不需要邻接表或者邻接矩阵来存，为什么呢？**
$A$:之所以使用邻接表或邻接矩阵，其实说白了，是按点存的，记录$A$点和$B$点的关系。**用结构体存储，其实是按边存的**，就是题目说有一条$A-B$的边（权为$C$），我们就存了一个$A-B$权为$C$的边。
**按点存麻烦（邻接表或邻接矩阵），按边存（结构体数组）简单。**
#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n条顶点,m条边
int res; // 最小生成树的权值和
int cnt; // 最小生成树的结点数
// Kruskal用到的结构体
struct Node {
int a, b, c;
bool const operator<(const Node &t) const {
return c < t.c; // 边权小的在前
}
} edge[M]; // 数组长度为是边数
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// Kruskal算法
void kruskal() {
// 1、按边权由小到大排序
sort(edge, edge + m);
// 2、并查集初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// 3、迭代m次
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b)
p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
}
// 4、特判是不是不连通
if (cnt < n - 1) res = INF;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
edge[i] = {a, b, c};
}
kruskal();
if (res == INF)
puts("impossible");
else
printf("%d\n", res);
return 0;
}
```