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TangDou/AcWing/NumberTheory/扩展欧几里得解不定方程的步骤.cpp

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+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+//扩展欧几里得
+LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
+    if (!b) {
+        x = 1, y = 0;
+        return a;
+    }
+    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
+    y -= a / b * x;
+    return d;
+}
+int main() {
+    /* 原始方程 4x+6y=10 求x,y的一组解
+
+    分析及求解步骤：
+    此题中a=4,b=6,c=10
+    1. 求d=gcd(a,b)=gcd(4,6)=2
+    2. 判断 2|c即 10%2=0，方程有解，如果不能整除，此处可以直接返回方程无整数解
+    3. 化简方程为 a/d*x+b/d*x=c/d 得到 4/2*x+6/2*y=10/2
+       => 2x+3y=5 此方程与原始方程解是一样的，我们最终对这个方程下手。
+    4. 如可解此方程呢？我们有一个好用的定理：扩展欧几里得可以解类似的方程
+       ax+by=gcd(a,b)!
+       但问题是按扩欧的描述，我们现在能计算的是 2x+3y=1的方程解！！！
+       不是原方程2x+3y=5的解!!
+       该怎么办呢？
+       设 x0,y0为2x+3y=1的解，那么原方程的一组解就是：
+       x1=5*x0,y1=5*y0!!!!
+
+       为什么呢？原因很简单： 2x+3y=1 左右都乘以5
+       2*(x*5)+3*(y*5)=5
+       对比一下原方程 x1=x0*5,y1=y0*5啊~
+    */
+    LL x, y;
+    exgcd(2, 3, x, y);
+    printf("2x+3y=1 -> x=%lld y=%lld\n", x, y);
+    printf("2x+3y=5 -> x=%lld y=%lld", 5 * x, 5 * y);
+    return 0;
+}