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TangDou/AcWing/NumberTheory/逆元/费马小定理+快速幂求逆元.md

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+### 模是质数求逆元
+如果$a \times b=1(mod\ p)$，则$a$为$b$互为$mod$ $p$逆元,其中$p$是质数。
+
+根据费马小定理得
+$$\large a^{p-1}\equiv 1 (mod \ p)$$
+
+$$\large \Rightarrow   a \times a^{p-2} \equiv 1 (mod \ \ p )$$
+
+所以，$a$和$a^{p-2}$互为 $(mod \ \ p )$ 逆元。
+
+
+为了理解快速幂思想，先看一个例子：求$5 ^ {19} = ?$
+因为$$19_{(10)} = 10011_{(2)}$$，所以有$$5 ^ {19} = 5 ^ {(1+2+16)} = 5^1 * 5^2 * 5^{16}$$,将二进制分解思想实现。
+
+### 快速幂代码
+```c++
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+int normal_pow(int a, int p) {
+    int ans = pow(a, p); //普通幂
+    return ans;
+}
+
+//递归版本的快速幂
+int qpow_1(int a, int p) {
+    if (p == 0)
+        return 1;                    //任何数的0次方都是1,递归出口
+    else if (p & 1)                  //如果p是奇数
+        return qpow_1(a, p - 1) * a; //结果=qpow_1(a,p-1)*a，相当于用小一级的数字进行描述，形成递归
+    else {
+        int t = qpow_1(a, p / 2); //如果p是偶数,分治，结果相乘
+        return t * t;
+    }
+}
+
+//循环版本的快速幂,利用二进制思想进行8 4 2 1方式计算，达到logN的时间复杂度
+int qpow_2(int a, int p) {
+    int ans = 1;
+    while (p) {
+        if (p & 1) ans *= a;
+        a *= a;
+        p >>= 1; //缩小一半
+    }
+    return ans;
+}
+
+int main() {
+    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
+        cout << normal_pow(2, i) << endl;
+        cout << qpow_1(2, i) << endl;
+        cout << qpow_2(2, i) << endl;
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+### 数论题目中的快速幂
+
+```c++
+typedef long long LL;
+// 快速幂 (a^k)%p
+LL qmi(LL a, LL k, LL p) {
+    LL res = 1;                            
+    while (k) {                             
+        if (k & 1) res = res * a % p;  
+        k >>= 1;                            
+        a =  a * a % p;                 
+    }
+    return res;
+}
+```
+
+### 快速幂求逆元
+$normal_pow$是普通的求幂，$qpow\_1$是递归方式实现快速幂，$qpow\_2$用循环的方式实现快速幂，求逆元即求$qpow\_1(a, p-2)$或$qpow\_2(a, p-2)$