'commit'
This commit is contained in:
HuangHai
21
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/795.cpp
Normal file
21
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/795.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010;
|
||||
int s[N];
|
||||
// 一维前缀和
|
||||
int main() {
|
||||
int n, m;
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
int x;
|
||||
cin >> x;
|
||||
s[i] = s[i - 1] + x;
|
||||
}
|
||||
while (m--) {
|
||||
int l, r;
|
||||
cin >> l >> r;
|
||||
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
46
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/795.md
Normal file
46
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/795.md
Normal file
@@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
##[$AcWing$ $795$ 前缀和](https://www.acwing.com/problem/content/797/)
|
||||
|
||||
### 一、题目描述
|
||||
输入一个长度为 $n$ 的整数序列。
|
||||
|
||||
接下来再输入 $m$ 个询问，每个询问输入一对 $l,r$。
|
||||
|
||||
对于每个询问，输出原序列中从第 $l$ 个数到第 $r$ 个数的和。
|
||||
|
||||
**输入格式**
|
||||
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
|
||||
|
||||
第二行包含 $n$ 个整数，表示整数数列。
|
||||
|
||||
接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $l$ 和 $r$，表示一个询问的区间范围。
|
||||
|
||||
**输出格式**
|
||||
共 $m$ 行，每行输出一个询问的结果。
|
||||
|
||||
**数据范围**
|
||||
$1≤l≤r≤n,1≤n,m≤100000,−1000≤数列中元素的值≤1000$
|
||||
|
||||
### 二、实现代码
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010;
|
||||
int q[N];
|
||||
int s[N];
|
||||
// 一维前缀和
|
||||
int main() {
|
||||
int n, m;
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
cin >> q[i];
|
||||
s[i] = s[i - 1] + q[i];
|
||||
}
|
||||
while (m--) {
|
||||
int l, r;
|
||||
cin >> l >> r;
|
||||
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
23
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/796.cpp
Normal file
23
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/796.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,23 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 1010;
|
||||
int a[N][N];
|
||||
int s[N][N];
|
||||
|
||||
int main() {
|
||||
int n, m, q;
|
||||
cin >> n >> m >> q;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
|
||||
cin >> a[i][j];
|
||||
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
|
||||
}
|
||||
|
||||
while (q--) {
|
||||
int x1, y1, x2, y2;
|
||||
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
|
||||
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
29
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/797.cpp
Normal file
29
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/797.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,29 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010;
|
||||
int n, m;
|
||||
int a[N], b[N];
|
||||
|
||||
/**
|
||||
* 功能：差分计算
|
||||
* @param l 左边界
|
||||
* @param r 右边界
|
||||
* @param c 值
|
||||
*/
|
||||
void insert(int l, int r, int c) {
|
||||
b[l] += c;
|
||||
b[r + 1] -= c;
|
||||
}
|
||||
int main() {
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], insert(i, i, a[i]);
|
||||
while (m--) {
|
||||
int l, r, c;
|
||||
cin >> l >> r >> c;
|
||||
insert(l, r, c);
|
||||
}
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
a[i] = a[i - 1] + b[i], printf("%d ", a[i]);
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
46
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/798.cpp
Normal file
46
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/798.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 1010;
|
||||
int a[N][N], b[N][N];
|
||||
int n, m, q;
|
||||
|
||||
/**
|
||||
* 功能：二维差分构建
|
||||
* @param x1 左上角横坐标
|
||||
* @param y1 左上角纵坐标
|
||||
* @param x2 右下角横坐标
|
||||
* @param y2 右下角纵坐标
|
||||
* @param c 值
|
||||
*/
|
||||
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
|
||||
b[x1][y1] += c;
|
||||
b[x2 + 1][y1] -= c;
|
||||
b[x1][y2 + 1] -= c;
|
||||
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
|
||||
}
|
||||
|
||||
int main() {
|
||||
cin >> n >> m >> q;
|
||||
//读入并构建
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++)
|
||||
cin >> a[i][j], insert(i, j, i, j, a[i][j]);
|
||||
|
||||
//q次区域变化
|
||||
while (q--) {
|
||||
int x1, y1, x2, y2, c;
|
||||
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
|
||||
insert(x1, y1, x2, y2, c);
|
||||
}
|
||||
//还原二维数组
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {//二维前缀和公式
|
||||
a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]
|
||||
+ b[i][j];
|
||||
printf("%d ", a[i][j]);
|
||||
}
|
||||
printf("\n");
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
25
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/P1614.cpp
Normal file
25
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/P1614.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,25 @@
|
||||
#include<bits/stdc++.h>
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N=3e3+5, INF=0x3f3f3f3f;
|
||||
int a[N],s[N];
|
||||
int main(){
|
||||
int n,m;
|
||||
cin>>n>>m;
|
||||
for(int i=1;i<=n;i++){
|
||||
cin>>a[i];
|
||||
s[i]=s[i-1]+a[i];
|
||||
}
|
||||
int ans=INF;
|
||||
|
||||
//ö<>ٵ<EFBFBD><D9B5><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD>յ<EFBFBD>
|
||||
//for(int i=m;i<=n;i++) ans=min(ans,s[i]-s[i-m]);
|
||||
|
||||
//ö<>ٵ<EFBFBD><D9B5><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD><EFBFBD>
|
||||
for(int i=1;i+m-1<=n;i++){
|
||||
int L=i,R=i+m-1;
|
||||
ans=min(ans,s[R]-s[L-1]);
|
||||
}
|
||||
|
||||
cout<<ans<<endl;
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
30
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/Study.cpp
Normal file
30
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/Study.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,30 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 1010;
|
||||
int a[N][N], b[N][N];
|
||||
int n, m, q;
|
||||
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
|
||||
b[x1][y1] += c;
|
||||
b[x2 + 1][y1] -= c;
|
||||
b[x1][y2 + 1] -= c;
|
||||
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
|
||||
}
|
||||
int main() {
|
||||
cin >> n >> m >> q;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> a[i][j], insert(i, j, i, j, a[i][j]);
|
||||
while (q--) {
|
||||
int x1, y1, x2, y2,c;
|
||||
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2>>c;
|
||||
insert(x1, y1, x2, y2, c);
|
||||
}
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
|
||||
a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1
|
||||
] + b[i][j];
|
||||
printf("%d ", a[i][j]);
|
||||
}
|
||||
printf("\n");
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
176
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/一维前缀和二维前缀和.md
Normal file
176
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/一维前缀和二维前缀和.md
Normal file
@@ -0,0 +1,176 @@
|
||||
### 一、一维前缀和
|
||||
|
||||
场景模拟：
|
||||
|
||||
老师让 **班长糖豆** 帮着计算一下全班同学语文考试的总分，老师负责读每个同学的分数，糖豆负责计算。
|
||||
|
||||
老师：“第一名，张三 $100$分”， 糖豆记录如下：$100$分
|
||||
老师：“第二名，李四 $99$分”， 糖豆 **擦去** $100$，修改为：$199$分
|
||||
老师：“第三名，王五 $98$分”， 糖豆 **擦去** $199$，修改为：$297$分
|
||||
...
|
||||
老师：“第四十五名，赵九 $60$分”， 糖豆 **擦去** $4179$,修改为：$4239$分
|
||||
|
||||
完事了，糖豆汇报总分：“$4239$分！任务结束！”
|
||||
|
||||
老师想了一想，问了一句：“那前十名共多少分？”
|
||||
|
||||
糖豆有点懵，因为把前十位的结果已经擦去啦！只能让老师从第一名开始到第十名再读一次。^_^
|
||||
|
||||
老师又想问:"那前二十名共多少分？"
|
||||
|
||||
糖豆彻底懵了，只能让老师从第一名开始到第二十名再读一次。^_^
|
||||
|
||||
老师也疯了！！！
|
||||
|
||||
看来这个办法不太行，老师的需求总变化！
|
||||
|
||||
那有什么办法呢？？糖豆会有办法的：
|
||||
|
||||
<font color='red'>记录前$i$个同学的分数总和!不擦！</font>
|
||||
|
||||
来吧，老师，你说你想要啥？
|
||||
|
||||
我想要前$20$名的分数总和！没问题，我记的就是这个，给你！
|
||||
|
||||
我想要$20$至$30$名的分数总和！啊？？？还想这么要？怎么办呢？
|
||||
|
||||
我们用数学的公式来描述一下，这样方便说明：
|
||||
|
||||
$a[i]$代表$i$号同学分数，$s[i]$代表$i$号同学及他以前的所有同学的分数总和。
|
||||
|
||||
那么有下面的关系式：
|
||||
$s[i-1]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1]$ ①
|
||||
|
||||
$s[i]=\ \ \ \ \ \ \ a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1]+a[i]$ ②
|
||||
|
||||
将①式代入②式，得到
|
||||
$s[i]=s[i-1]+a[i]$ ③
|
||||
|
||||
如果记录了这个$s[i]$，就能回答好多的问题：
|
||||
|
||||
1、第$5$名同学的分数是多少？
|
||||
答：$s[5]-s[4]$ ，为啥呢？因为③式的变形 $a[i]=s[i]-s[i-1]$
|
||||
|
||||
2、第$1$名到第$10$名同学的分数和是多少？
|
||||
答：$s[10]$ 为啥呢？因为前缀和定义就是从`1`到`i`的数据和嘛。
|
||||
|
||||
3、第$5$名到第$10$名同学的分数和是多少？
|
||||
答：$s[10]-s[4]$
|
||||
|
||||
为啥呢？
|
||||
其实我们想求的是：$a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]+a[10]$
|
||||
我们使用$s[i]$来构建上面的式子:
|
||||
|
||||
$s[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]$ ①
|
||||
|
||||
$s[10]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+...+a[10]$ ②
|
||||
|
||||
将①式代入②式，就是$s[10]=s[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]+a[10]$
|
||||
|
||||
移项得到:$s[10]-s[4]=a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]+a[10]$
|
||||
|
||||
<font color='red'>注意:
|
||||
前缀和一般从数下标$1$开始，这是因为它的定义是$s[i]=s[i-1]+a[i]$,如果$i$从$0$开始，$s$数组下标就会出现负数，这样还需一堆$if$判断，麻烦，所以，一般为了代码简单，我们都把$a[0]=0$,通常在全局变量区域里定义$a$数组，这样连$a[0]=0$也省略了，$s[0]$其实也是定义在全局变量区域的，所以$s[0]=0$，这样操作代码就简单了。
|
||||
</font>
|
||||
|
||||
#### 1. 使用场景
|
||||
给定一个原始数组，后面需要多次查询某一个的数值和，比如 $1$ $2$ $3$ $4$ $6$ $3$ $7$ $8$ $9$ $10$，$10$个数字，需要问$N$次，每次问从`x`到`y`的位置，相加的和是几。
|
||||
|
||||
如果按普通想法，就是每问一次就计算一次，不利用以前的结果。这样假设每次的`l`到`r`的距离是`m`,很显然，共需要`m*N`次操作，如果使用了前缀和的预处理，计算一次前缀和，就是`N`次运算，得到一个结果数组`s[N]`，以后每次查询都是 $s[r]-s[l-1]$，就是一次运算，快了很多。
|
||||
|
||||
####[$AcWing$ $795$. 前缀和](https://www.acwing.com/problem/content/797/)
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010;
|
||||
int q[N];
|
||||
int s[N];
|
||||
|
||||
//一维前缀和
|
||||
int main() {
|
||||
int n, m;
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
cin >> q[i];
|
||||
s[i] = s[i - 1] + q[i];
|
||||
}
|
||||
while (m--) {
|
||||
int l, r;
|
||||
cin >> l >> r;
|
||||
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
###[$AcWing$ $796$. 子矩阵的和](https://www.acwing.com/problem/content/798/)
|
||||
|
||||
**什么是二维前缀和？**
|
||||
|
||||
`a[N][M]`假设为原数组，`s[N][M]`为二维前缀和数组，`s[i][j]`的意义是：原数组前`i`行，前`j`列的数组元素值的和。
|
||||
说白了，就是`1->i`行,`1->j`列的所有元素值的和，就是左上角的格子内容和：
|
||||
|
||||
|
||||
本质上和一维前缀和是一个意思，一维是第`1`个元素到第`n`个元素的累加和，二维是从左上角到`(i,j)`的累加和。
|
||||
|
||||
#### 1、公式的推导
|
||||
$s[3][3]=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]$
|
||||
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]+a[2][3]$
|
||||
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[3][1]+a[3][2]+a[3][3]$
|
||||
|
||||
$s[3][2]=a[1][1]+a[1][2]$
|
||||
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]$
|
||||
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[3][1]+a[3][2]$
|
||||
|
||||
|
||||
$s[2][3]=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]$
|
||||
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]+a[2][3]$
|
||||
|
||||
$s[2][2]=a[1][1]+a[1][2]$
|
||||
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]$
|
||||
|
||||
|
||||
观察上面4个式子，我们想要计算$s[3][3]$，还不想用笨办法，一个个用$a[i][j]$来累加出来，就可以利用已经算出来的结果值进行运算获得！
|
||||
|
||||
$s[3][3]=s[3][2]+s[2][3]-s[2][2]+a[3][3]$
|
||||
|
||||
抽象一下，就是：(如果感觉看代数式子不好理解，就用上面图理解就行啦！)
|
||||
|
||||
$s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]$
|
||||
|
||||
#### 2、计算子区域的前缀和
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
#### 3、C++ 代码
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 1010;
|
||||
int a[N][N];
|
||||
int s[N][N];
|
||||
|
||||
int main() {
|
||||
int n, m, q;
|
||||
cin >> n >> m >> q;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
|
||||
cin >> a[i][j];
|
||||
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] + a[i][j] - s[i - 1][j - 1];
|
||||
}
|
||||
|
||||
while (q--) {
|
||||
int x1, y1, x2, y2;
|
||||
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
|
||||
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
#### 练习题
|
||||
**[（一维前缀和） 洛谷 $P1614$ 爱与愁的心痛](https://blog.csdn.net/m0_50683128/article/details/110673195)**
|
||||
|
||||
**[前缀和和差分洛谷题单总结](https://blog.csdn.net/piqihaoshaonian/article/details/127515000)**
|
||||
192
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/一维差分和二维差分.md
Normal file
192
TangDou/AcWing/PrefixAndDifference/一维差分和二维差分.md
Normal file
@@ -0,0 +1,192 @@
|
||||
|
||||
### [$AcWing$ $797$. 差分](https://www.acwing.com/problem/content/799/)
|
||||
|
||||
定义：$b[i]=a[i]-a[i-1]$,称$b$数组是$a$数组的差分数组。
|
||||
|
||||
举个栗子：
|
||||
|
||||
$a=[0,1,2,3,4,5]$
|
||||
|
||||
$b=[0,1,1,1,1,1]$
|
||||
|
||||
为啥呢？
|
||||
$a[5]-a[4]=b[5]$
|
||||
$a[4]-a[3]=b[4]$
|
||||
$a[3]-a[2]=b[3]$
|
||||
$a[2]-a[1]=b[2]$
|
||||
$a[1]-a[0]=b[1]$
|
||||
|
||||
算一下，就是$b=[1,1,1,1,1]$
|
||||
|
||||
把上面五个式子左边加在一起，右边也加在一起，两边还应该相等。就是：
|
||||
$a[5]-a[4]+a[4]-a[3]+a[3]-a[2]+a[2]-a[1]+a[1]-a[0]=b[5]+b[4]+b[3]+b[2]+b[1]$
|
||||
|
||||
$a[5]=b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]$
|
||||
|
||||
太奇妙了！<font color='red'>**$a$数组是$b$数组的一维前缀和数组！**</font>
|
||||
|
||||
**小结：**
|
||||
(1)、$a$数组中，每个数字**后面减前面得到的数字填入$b$数组**，$b$数组就叫$a$数组的差分数组。
|
||||
|
||||
(2)、同时，$a$数组就是$b$数组的前缀和数组。
|
||||
|
||||
(3)、**通过“叠加”差分数组，就可以还原出“原数组”的每一个数字！**
|
||||
|
||||
(4)、**前缀和与差分互为逆运算，有原数组可以计算出差分数组；有差分数组，也可以还原成原数组。**
|
||||
|
||||
#### 2、一维差分作用
|
||||
|
||||
使用场景：
|
||||
|
||||
**在某个区间$[l,r]$的多次操作都加上（或减去）一个数$x$时，一维差分可以大大提高运算速度。**
|
||||
|
||||
举个栗子：
|
||||
|
||||
<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210907140423790-882246210.png'></center>
|
||||
|
||||
总结公式：
|
||||
|
||||
```c++
|
||||
void insert(int l,int r,int c){
|
||||
b[l]+=c;
|
||||
b[r+1]-=c;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
我们利用刚才的结论:**通过“叠加”差分数组，就可以还原出“原数组”的每一个数字！**!这玩意就整一回合适吗？不合适，还不够费功夫的呢！生成一维差分也就算了，从一维差分数组还原回原数组就需要$n$次运算，整不好还赔了呢！但如果是多次区间加减运算，就合适了！
|
||||
|
||||
|
||||
#### 3、一维差分应用
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 100010;
|
||||
int n, m;
|
||||
int a[N], b[N];
|
||||
|
||||
/**
|
||||
* 功能：差分计算
|
||||
* @param l 左边界
|
||||
* @param r 右边界
|
||||
* @param c 值
|
||||
*/
|
||||
void insert(int l, int r, int c) {
|
||||
b[l] += c;
|
||||
b[r + 1] -= c;
|
||||
}
|
||||
|
||||
int main() {
|
||||
cin >> n >> m;
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
cin >> a[i];
|
||||
insert(i, i, a[i]);
|
||||
//或者 b[i]=a[i]-a[i-1];
|
||||
}
|
||||
|
||||
while (m--) {
|
||||
int l, r, c;
|
||||
cin >> l >> r >> c;
|
||||
insert(l, r, c);
|
||||
}
|
||||
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
a[i] = a[i - 1] + b[i], printf("%d ", a[i]);
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
### [$AcWing$ $798$. 差分矩阵](https://www.acwing.com/problem/content/800/)
|
||||
|
||||
#### 1、二维差分定义
|
||||
我们有一个矩阵，如下图所示。
|
||||
|
||||
|
||||
根据二维前缀和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相邻的数（由一维可以推出），并且由前面范围的数相加得到这个位置的数。那么类比二维前缀和和一维差分，可以简单推测出
|
||||
|
||||
**二维差分的公式**
|
||||
$b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$
|
||||
|
||||
|
||||
**如何从差分矩阵得到原矩阵呢？**[就是二维前缀和公式]
|
||||
$a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j]$
|
||||
|
||||
**举个栗子**
|
||||
比如，我们有一个矩阵 a，如下所示：
|
||||
```c++
|
||||
1 2 4 3
|
||||
5 1 2 4
|
||||
6 3 5 9
|
||||
```
|
||||
那么对应的二维差分矩阵 b 如下：
|
||||
```c++
|
||||
1 1 2 -1
|
||||
4 -5 -1 3
|
||||
1 1 1 2
|
||||
```
|
||||
#### 2、二维差分用途
|
||||
和一维差分的用途基本一致，在一个二维矩阵中，有多块区间需要增加或减少一个数值，多次操作后求最终的矩阵内容。如果按照传统办法，就是二层循环，复杂度很高，如果预处理出一个二维的差分矩阵，以后的多轮操作都转为了4次加加减减操作，可以视为$O(1)$级别的时间复杂度，运算效率将得到极大提高。
|
||||
|
||||
#### 3、二维差分构建
|
||||
如果我们要在左上角是 `(x1,y1)`，右下角是 `(x2,y2)` 的矩形区间每个值都 `+c`，如下图所示
|
||||
|
||||
在我们要的区间开始位置`（x1,y1）`处 `+c`，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分，多影响了两个蓝色部分，所以在两个蓝色部分 `-c` 消除 `+c` 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 `-c` 的影响，所以绿色部分 `+c` 消除影响。所以对应的计算方法如下：
|
||||
```
|
||||
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
|
||||
b[x1][y1] += c; //开始位置增加C
|
||||
b[x2 + 1][y1] -= c; //见上面的图，把第二行的蓝色区域减去C
|
||||
b[x1][y2 + 1] -= c; //见上面的图，把第一行的蓝色区域减去C
|
||||
b[x2 + 1][y2 + 1] += c; //交叉位置被减了两次，需要补回来。
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
#### 4、二维差分应用
|
||||
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
|
||||
using namespace std;
|
||||
const int N = 1010;
|
||||
int a[N][N], b[N][N];
|
||||
int n, m, q;
|
||||
|
||||
/**
|
||||
* 功能：二维差分构建
|
||||
* @param x1 左上角横坐标
|
||||
* @param y1 左上角纵坐标
|
||||
* @param x2 右下角横坐标
|
||||
* @param y2 右下角纵坐标
|
||||
* @param c 值
|
||||
*/
|
||||
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
|
||||
b[x1][y1] += c;
|
||||
b[x2 + 1][y1] -= c;
|
||||
b[x1][y2 + 1] -= c;
|
||||
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
|
||||
}
|
||||
|
||||
int main() {
|
||||
cin >> n >> m >> q;
|
||||
//读入并构建
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++)
|
||||
cin >> a[i][j], insert(i, j, i, j, a[i][j]);
|
||||
|
||||
//q次区域变化
|
||||
while (q--) {
|
||||
int x1, y1, x2, y2, c;
|
||||
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
|
||||
insert(x1, y1, x2, y2, c);
|
||||
}
|
||||
|
||||
//还原二维数组
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {//二维前缀和公式
|
||||
a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
|
||||
printf("%d ", a[i][j]);
|
||||
}
|
||||
printf("\n");
|
||||
}
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
Reference in New Issue
Block a user