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TangDou/AcWing/SegmentTree/1275.md

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+##[$AcWing$ $1275$. 最大数](https://www.acwing.com/problem/content/1277/)
+
+### 一、题目描述
+
+给定一个正整数数列 $a_1,a_2,…,a_n$，每一个数都在 $0∼p−1$ 之间。
+
+可以对这列数进行两种操作：
+
+添加操作：向序列后添加一个数，序列长度变成 $n+1$；
+询问操作：询问这个序列中最后 $L$ 个数中最大的数是多少。
+
+程序运行的最开始，整数序列为空。
+
+一共要对整数序列进行 $m$ 次操作。
+
+写一个程序，读入操作的序列，并输出询问操作的答案。
+
+**输入格式**
+第一行有两个正整数 $m,p$，意义如题目描述；
+
+接下来 $m$ 行，每一行表示一个操作。
+
+如果该行的内容是 $Q$ $L$，则表示这个操作是询问序列中最后 $L$ 个数的最大数是多少；
+
+如果是 $A$ $t$，则表示向序列后面加一个数，加入的数是 $(t+a)$ $mod$ $p$。其中，$t$ 是输入的参数，$a$ 是在这个添加操作之前最后一个询问操作的答案（如果之前没有询问操作，则 $a=0$）。
+
+第一个操作一定是添加操作。对于询问操作，$L>0$ 且不超过当前序列的长度。
+
+**输出格式**
+对于每一个询问操作，输出一行。该行只有一个数，即序列中最后 $L$ 个数的最大数。
+
+**数据范围**
+$1≤m≤2×10^5,1≤p≤2×10^9,0≤t<p$
+
+**输入样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+10 100
+A 97
+Q 1
+Q 1
+A 17
+Q 2
+A 63
+Q 1
+Q 1
+Q 3
+A 99
+```
+
+**输出样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+97
+97
+97
+60
+60
+97
+```
+
+**样例解释**
+最后的序列是 $97,14,60,96$。
+
+
+
+### 二、树状数组解法
+
+运行时间：	$246$ $ms$
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/{year}/{month}/{md5}.{extName}/202308181117260.png)
+**重点**: **因为每次询问的区间是最后几个数字，而树状数组可以快速求前缀，所以不妨倒着存储数据**。
+
+**为了减少时间复杂度，要提前预留$m$个坑位，第一个数存放到$m$，第二个数存放到$m-1$，以此类推**。
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <iostream>
+#include <cstdio>
+typedef long long LL;
+using namespace std;
+const int N = 2e5 + 10;
+int tr[N];
+
+int m, p;
+
+#define lowbit(x) (x & -x)
+void add(int n, int x) {
+    for (int i = n; i <= m; i += lowbit(i)) tr[i] = max(tr[i], x);
+}
+int query(int n) {
+    int ret = 0;
+    for (int i = n; i; i -= lowbit(i)) ret = max(ret, tr[i]);
+    return ret;
+}
+
+int main() {
+    //加快读入
+    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
+    cin >> m >> p;
+    int last = 0;
+    int j = m;
+    for (int i = 0; i < m; i++) {
+        LL x;
+        char c;
+        cin >> c >> x;
+        if (c == 'A')
+            add(j--, (x + last) % p);
+        else {
+            last = query(j + x);
+            printf("%d\n", last);
+        }
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+### 三、线段树求最大值模板代码
+运行时间：$646$ $ms$
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+const int N = 200010;
+int m; // m个操作
+int p; // mod p
+
+// 线段树求最大值模板
+#define ls (u << 1)
+#define rs (u << 1 | 1)
+#define mid ((l + r) >> 1)
+struct Node {
+    int l, r, len;
+    int v;
+} tr[N << 2];
+
+void pushup(int u) {
+    tr[u].v = max(tr[ls].v, tr[rs].v);
+}
+
+void build(int u, int l, int r) {
+    tr[u].l = l, tr[u].r = r;
+    if (l == r) return;
+    build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
+}
+
+int query(int u, int L, int R) {
+    int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
+    if (l >= L && r <= R) return tr[u].v;
+    if (l > R || r < L) return 0;
+    return max(query(ls, L, R), query(rs, L, R));
+}
+
+void modify(int u, int x, int v) {
+    int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
+    if (l == r) {
+        tr[u].v = v;
+        return;
+    }
+    if (x <= mid)
+        modify(u << 1, x, v);
+    else
+        modify(u << 1 | 1, x, v);
+    pushup(u);
+}
+
+int n, last;
+
+int main() {
+    // 加快读入
+    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
+    cin >> m >> p;
+
+    // 单点修改，求区间最大值
+
+    // ① 初始化线段树,最多m次操作，最多m个数，区间范围[1, m]
+    build(1, 1, m);
+
+    int x;
+    char op;
+    while (m--) {
+        cin >> op >> x;
+        if (op == 'A') {
+            // 对于节点++n进行修改,值=(最后一次的last查询值 + x )%p
+            modify(1, ++n, ((LL)last + x) % p);
+        } else {
+            // u = 1:从根节点开始查询
+            // 查询序列中最后x个数的最大数: 查询[n - x + 1, n]内的最大值
+            last = query(1, n - x + 1, n);
+            printf("%d\n", last);
+        }
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+
+### 四、$ST$表解法
+
+大部分大佬用的是线段树（我第一次也用的线段树）
+现在发现用$st$超级容易
+每次插入只需要修改与最后一个点有关的值即可
+典型的空间换时间;
+线段树空间复杂度$O(4N)$,查询插入都是$O(logN)$,不过时间里面还有许多浪费的成分
+$st$空间复杂度$O(NlogN)$,查询$O(1)$,插入$O(logN)$,比线段树快至少一半
+
+由于$st$表还没有复习到，这里先不深入研究$st$表的解法，后面第三刷时再来仔细研究：
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <iostream>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+using namespace std;
+typedef long long ll;
+const int N=2e5+10,M=log2(N)+10;
+int f[N][M];
+int query(int l,int r){
+    int k=log2(r-l+1);
+    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
+}
+int n;
+int insert(int a){
+    f[++n][0]=a;
+    for(int i=1;1<<i<=n;i++)
+        f[n-(1<<i)+1][i]=max(f[n-(1<<i)+1][i-1],f[n-(1<<i-1)+1][i-1]);
+}
+int q,p,a;
+char op[2];
+int x;
+int main(){
+    scanf("%d%d",&q,&p);
+    for(;q--;){
+        scanf("%s%d",op,&x);
+        if(op[0]=='A')
+            insert((ll(x)+a)%p);
+        else{
+            printf("%d\n",a=query(n-x+1,n));
+        }
+    }
+    return 0;
+}
+
+```