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HuangHai
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TangDou/AcWing/SegmentTree/P3740.md
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TangDou/AcWing/SegmentTree/P3740.md
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@@ -0,0 +1,241 @@
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## [$P3740$ $[HAOI2014]$ 贴海报](https://www.luogu.com.cn/problem/P3740)
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### 一、题目描述
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$Bytetown$城市要进行市长竞选，所有的选民可以畅所欲言地对竞选市长的候选人发表言论。为了统一管理，城市委员会为选民准备了一个张贴海报的$electoral$墙。
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张贴规则如下：
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1. $electoral$墙是一个长度为$N$个单位的长方形，每个单位记为一个格子；
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2. 所有张贴的海报的高度必须与$electoral$墙的高度一致的；
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3. 每张海报以“$A$ $B$”表示，即从第$A$个格子到第$B$个格子张贴海报；
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4. 后贴的海报可以覆盖前面已贴的海报或部分海报。
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现在请你判断，张贴完所有海报后，在$electoral$墙上还可以看见多少张海报。
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#### 输入格式
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第一行： $N$ $M$ 分别表示$electoral$墙的长度和海报个数
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接下来$M$行: $A_i B_i$ 表示每张海报张贴的位置
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#### 输出格式
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输出贴完所有海报后，在$electoral$墙上还可以看见的海报数。
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#### 样例输入 #1
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100 5
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1 4
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2 6
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8 10
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3 4
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7 10
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#### 样例输出 #1
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```
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4
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```
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#### 提示
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【约束条件】
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$0<= N <= 10000000, 1<=M<=1000 , 1<= A_i <= B_i <=10000000$
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所有的数据都是整数。数据之间有一个空格
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### 二、解题思路
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这是一道 **区间染色** 类的题目。
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**可以用线段树来维护一个$bool$标记，来记录该点所辖区间是否完整被覆盖。**
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我们可以 **从右向左遍历** 全部的海报所辖区间（因为贴海报是后面的覆盖前面的），每次将这个区间放入线段树，即将线段树中的$[l,r]$区间内所有为$false$的地方改为$true$，但是如果该区间内的点已经全部被标记过了，那么说明这张海报不会露出来。
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最后统计所有露出来的海报即为最终答案。
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而由于区间范围比较大$<=1e7$，要 **离散化** 区间。
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需要注意的是,由于是 **区间覆盖** 问题，所以普通离散化会出问题，比如:
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$[1,6],[1,3],[5,6]$离散化后会变为$[1,4],[1,2],[3,4]$,这样一来，原来第一个区间就会被完全覆盖,其实人家的$[4]$是可以被看到的,没有海报可以盖住$4$,你离散化后就不对了，**离散化失败**。
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这是因为，离散化操作让不相邻的点变得相邻了，这在普通问题中没有什么影响，但在 **区间覆盖** 问题上就变得很关键了。
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所以我们要在离散化数组中, **插入$r[i]+1$,防止后续点不相邻的点在离散化后和它相邻** 。
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### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e3 + 10;
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int n, m;
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int x[N], y[N];
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bool flag; // 当前枚举到的海报是不是能被看到
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// 推荐版本:静态离散化+区间覆盖
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#define ls (u << 1)
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#define rs (u << 1 | 1)
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#define mid ((l + r) >> 1)
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struct Node {
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int l, r;
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bool color; // 是不是所辖区间被完整覆盖
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} tr[N << 2];
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void pushup(int u) {
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tr[u].color = tr[ls].color && tr[rs].color; // 只有左儿子被完整覆盖，并且，右儿子被完整覆盖，自己才是被完整覆盖
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}
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void build(int u, int l, int r) {
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tr[u].l = l, tr[u].r = r;
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if (l == r) return;
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build(ls, l, mid);
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build(rs, mid + 1, r);
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}
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void modify(int u, int L, int R) {
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int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
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if (l > R || r < L) return;
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if (tr[u].color) return; // 如果本区间原来就已经被覆盖过了，那么返回，也就不会在这段区间使得flag=true,也就是这个区域是看不到的
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if (l >= L && r <= R) { // 如果以前没有被覆盖过，并且，本次本区域被完整覆盖,也就是第一次覆盖
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flag = true; // 当前枚举到的海报可以被看到
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tr[u].color = true; // 记录本区域被完整覆盖
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return;
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}
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modify(ls, L, R), modify(rs, L, R);
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pushup(u);
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}
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int b[N << 1], bl; // 离散化数组
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int main() {
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("P3740.in", "r", stdin);
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#endif
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= m; i++) {
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cin >> x[i] >> y[i];
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b[++bl] = x[i];
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b[++bl] = y[i];
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b[++bl] = y[i] + 1; // 区间覆盖问题的解决之道
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}
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// 排序+去重 (要注意b数组的范围，bl代表了它的上界！)
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sort(b + 1, b + 1 + bl);
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int tot = unique(b + 1, b + 1 + bl) - b - 1;
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// 构建线段树
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build(1, 1, tot);
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int res = 0;
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for (int i = m; i; i--) { // 倒序
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flag = false; // 当前枚举到的海报是不是能被看到,默认是不能被看到
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int L = lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, x[i]) - b;
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int R = lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, y[i]) - b;
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modify(1, L, R); // 覆盖掉【L,R】
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if (flag) res++; // 如果当前枚举到的海报可以被看到,那么多了一张
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}
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// 输出答案
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printf("%d\n", res);
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return 0;
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}
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```
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### 三、珂朵莉树解法
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不懂珂朵莉树的同学可以看看$oi$ $wiki$的[介绍](https://oi-wiki.org/ds/odt/)
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简单来说珂朵莉树的原理就是维护拥有相同元素的区间
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```cpp {.line-numbers}
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struct Node {
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int l, r;
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mutable int v;
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const bool operator<(const Node &b) const{
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return l < b.l;
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}
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};
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```
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具体到本题就是将一整张海报的区间当作一个节点，每个不同的海报的区间染上不同的颜色，加入新的海报就相当于珂朵莉树的 $assign$ 操作
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最后暴力的扫一遍$[1, 0]$ (整个墙)这个区间 记录访问到的颜色的种类(初始时整个墙围一整个区间 颜色$v$为$0$)
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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// 用于记录颜色的集合
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set<int> colors;
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// 柯朵莉树模板
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struct Node {
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int l, r;
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mutable int v;
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bool operator<(const Node &b) const {
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return l < b.l;
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}
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};
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set<Node> s;
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// 分裂:[l,x-1],[x,r]
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set<Node>::iterator split(int x) {
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auto it = s.lower_bound({x});
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if (it != s.end() && it->l == x) return it; // 如果x就是一个区间的开头，就不用切割,直接返回这个区间
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it--;
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if (it->r < x) return s.end(); // x太大，超过了最后一个区间的右端点,直接返回s.end()
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int l = it->l, r = it->r, v = it->v;
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s.erase(it); // 删掉旧区间
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s.insert({l, x - 1, v}); // 拆分成两个区间
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return s.insert({x, r, v}).first; // 返回新插入区间位置的迭代器
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}
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void add(int l, int r, int v) {
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auto R = split(r + 1), L = split(l);
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for (auto it = L; it != R; it++) it->v += v;
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}
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void assign(int l, int r, int v) {
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auto R = split(r + 1), L = split(l);
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s.erase(L, R);
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s.insert({l, r, v});
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}
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// 计算有多少种可见颜色
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int countColor(int l, int r) {
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auto R = split(r + 1), L = split(l);
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for (auto it = L; it != R; it++)
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if (it->v) colors.insert(it->v);
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return colors.size();
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}
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int main() {
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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int n, m;
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cin >> n >> m;
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// 初始时整个区间颜色id为0
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s.insert({1, n, 0});
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// m个区间统一赋值为i
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for (int i = 1; i <= m; i++) {
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int l, r;
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cin >> l >> r;
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assign(l, r, i); // 给海报区间染色 每个区间颜色不同
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}
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// 输出有几种可见的颜色
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cout << countColor(1, n) << endl;
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return 0;
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}
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```
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