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TangDou/AcWing_TiGao/T3/MiniPath/1126.md

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+## [$AcWing$ $1126$. 最小花费](https://www.acwing.com/problem/content/1128/)
+
+### 一、题目描述
+在 $n$ 个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。
+
+这些人之间转账的手续费各不相同。
+
+给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问 $A$ 最少需要多少钱使得转账后 $B$ 收到 $100$ 元。
+
+**输入格式**
+第一行输入两个正整数 $n,m$，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。
+
+以下 $m$ 行每行输入三个正整数 $x,y,z$，表示标号为 $x$ 的人和标号为 $y$ 的人之间互相转账需要扣除 $z\%$ 的手续费 ( $z<100$ )。
+
+最后一行输入两个正整数 $A,B$。
+
+数据保证 $A$ 与 $B$ 之间可以直接或间接地转账。
+
+**输出格式**
+输出 $A$ 使得 $B$ 到账 $100$ 元最少需要的总费用。
+
+精确到小数点后 $8$ 位。
+
+**数据范围**
+$1≤n≤2000,m≤10^5$
+
+**输入样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+3 3
+1 2 1
+2 3 2
+1 3 3
+1 3
+```
+
+**输出样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+103.07153164
+```
+
+### 二、题目解析
+假设初始金钱为$N$,那么如果要在最后一个人的手里得到$100$元，可得公式：
+$$\large N∗(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)=100$$
+
+$\Rightarrow$ 
+$$\large N=\frac{100}{(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)}$$
+
+要想$N$尽可能小，那么就要让 **分母尽可能大** ，即求$(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)$的最大值。
+
+**注意**：
+|              | 最小值                                               | 最大值                   |
+| ------------ | ---------------------------------------------------- | ------------------------ |
+| **优先队列** | **小根堆**                                           | **大根堆**               |
+| **实现**     | ` priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;` | `priority_queue<PDI> q;` |
+更新的时候用:$d[v] = d[u] * (1 - w[i]\%)$。
+
+### 三、$Dijkstra$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+const int N = 2010;
+const int M = 2e5 + 10;
+
+typedef pair<double, int> PDI; // 堆中数值是浮点数，注意区别
+
+int n, m;
+double dis[N];
+bool st[N];
+
+int h[N], e[M], ne[M], idx;
+double w[M]; // 边权为浮点数,与一般的题目有区别
+void add(int a, int b, double c) {
+    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
+}
+int S, T;
+void dijkstra() {
+    priority_queue<PDI> q; // 大顶堆
+    dis[S] = 1;
+    q.push({1, S});
+
+    while (q.size()) {
+        auto t = q.top();
+        q.pop();
+        int u = t.second;
+        if (st[u]) continue;
+        st[u] = true;
+
+        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
+            int v = e[i];
+            double a = 1 - w[i];
+            if (dis[v] < dis[u] * a) {
+                dis[v] = dis[u] * a;
+                q.push({dis[v], v});
+            }
+        }
+    }
+}
+
+int main() {
+    memset(h, -1, sizeof h);
+    cin >> n >> m;
+
+    while (m--) {
+        int a, b, c;
+        cin >> a >> b >> c;
+        double w = c * 0.01;
+        add(a, b, w), add(b, a, w);
+    }
+
+    cin >> S >> T;
+
+    dijkstra();
+    printf("%.8lf\n", 100 / dis[T]);
+    return 0;
+}
+```