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TangDou/AcWing_TiGao/T5/FenJieZhiYinShu/197.md

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+##[$AcWing$ $197$. 阶乘分解](https://www.acwing.com/problem/content/description/199/)
+
+### 一、题目描述
+给定整数 $N$，试把阶乘 $N!$ 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 $p_i$ 和 $c_i$ 即可。
+
+**输入格式**
+一个整数 $N$。
+
+**输出格式**
+$N!$ 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 $p_i,c_i$，表示含有 $p_i^{c_i}$ 项。按照 $p_i$ 从小到大的顺序输出。
+
+**数据范围**
+$3≤N≤10^6$
+
+**输入样例**：
+`5`
+
+**输出样例**：
+```cpp {.line-numbers}
+2 3
+3 1
+5 1
+```
+
+**样例解释**
+```cpp {.line-numbers}
+5!=120=2^3∗3∗5
+```
+
+### 二、方法$1$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+
+int n;
+bool prime(int x) {
+    if (x == 2) return 1;
+    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
+        if (x % i == 0) return 0;
+    return 1;
+}
+int main() {
+    cin >> n;
+    for (int i = 2; i <= n; i++) {
+        if (!prime(i)) continue;
+        LL x = i;
+        int ans = 0;
+        while (x <= n) ans += n / x, x *= i;
+        printf("%d %d\n", i, ans);
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+### 三、方法$2$
+1. 筛出$1 \sim n$的所有质数
+2. 枚举每个质因子$x$，$n!$表示$1 * 2 * 3... * n$,从$1$到$n$中，求$x$的次数：
+
+$$cnt(x)= \left \lfloor \frac{n}{x^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{x^3} \right \rfloor + ...$$  
+(直到$x$的次方大于$n$停止)
+举栗子：
+比如$10!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10$里有多少个$2$的倍数,
+$$\large \left \lfloor \frac{n}{x^1} \right \rfloor = \frac{10}{2}=5$$
+
+有多少个$4$的倍数
+$$\large \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor = \frac{10}{4}=2$$
+
+有多少个$8$的倍数
+$$\large \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor = \frac{10}{8}=1$$
+
+共$5+2+1=8$个，与例子对的上。
+
+#### $Code$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+
+// 欧拉筛
+const int N = 1e6 + 10;
+int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
+bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
+void get_primes(int n) {
+    memset(st, 0, sizeof st);
+    cnt = 0;
+    for (int i = 2; i <= n; i++) {
+        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
+        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
+            st[primes[j] * i] = true;
+            if (i % primes[j] == 0) break;
+        }
+    }
+}
+int main() {
+    int n;
+    cin >> n;
+
+    get_primes(n);
+
+    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
+        int p = primes[i];
+        int s = 0;
+        // 思路：由大到小+除法降维
+        // 优点：不用考虑乘法而导致的爆int上限
+        for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;
+        printf("%d %d\n", p, s);
+    }
+    return 0;
+}
+```