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TangDou/AcWing_TiGao/T5/JuZhengChengFa/1303.md

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+##[$AcWing$ $1303$. 斐波那契前 $n$ 项和](https://www.acwing.com/problem/content/1305/)
+
+### 一、题目描述
+大家都知道 $Fibonacci$ 数列吧，$f_1=1,f_2=1,f_3=2,f_4=3,…,f_n=f_{n−1}+f_{n−2}$。
+
+现在问题很简单，输入 $n$ 和 $m$，求 $f_n$ 的前 $n$ 项和 $S_n \ mod \ m$。
+
+**输入格式**
+共一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$。
+
+**输出格式**
+输出前 $n$ 项和 $S_n\ mod\ m$ 的值。
+
+**数据范围**
+$1≤n≤2000000000,1≤m≤1000000010$
+
+**输入样例**：
+$5$ $1000$
+
+**输出样例**：
+$12$
+
+
+### 二、解题思路
+普通的迭代法，是线性的，$n$的上限是$2e9$,循环的话会超时，需要想其它办法。
+
+**矩阵快速幂**
+
+$$\large \begin{bmatrix} s_n & f_{n+1}& f_n  \end{bmatrix} \times
+\begin{bmatrix}
+a&b &c \\ 
+d&e & f \\
+h&i & j \\
+\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_{n+1} & f_{n+2}& f_{n+1}   \end{bmatrix}$$
+  
+$\therefore \\
+s_{n+1}= s_n \times a+f_{n+1} \times d+f_n \times h  \\
+f_{n+2}= s_n \times b + f_{n+1} \times e + f_n \times i \\
+f_{n+1}= s_n \times c + f_{n+1} \times f + f_n \times j  
+$
+
+根据题目的现实含义：
+$s_{n+1}=s_n+f_{n+1}$
+$f_{n+2}=f_n+f_{n+1}$
+
+推导出:
+$a=1,d=1,h=0$
+$b=0,e=1,i=1$
+$c=0,f=1,j=0$
+
+整理出矩阵就是：
+$m=\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 \\ 
+1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 0  
+\end{bmatrix}$
+
+已知 $s_1=1，f_2=1，f_1=1$，使用矩阵快速幂可以求解 $s_n$。
+即$b=\begin{bmatrix}
+1 & 1& 1
+\end{bmatrix}$
+
+$\begin{bmatrix}s_1 & f_2 & f_1 \end{bmatrix} \times 
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 \\ 
+1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 0  
+\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}s_2 & f_3 & f_2 \end{bmatrix}
+$ ①
+
+$\begin{bmatrix}s_2 & f_3 & f_2 \end{bmatrix} \times 
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 \\ 
+1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 0  
+\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}s_3 & f_4 & f_3 \end{bmatrix}
+$ ②
+
+将 ① 代入 ② 得到：
+
+$\begin{bmatrix}s_1 & f_2 & f_1 \end{bmatrix} \times 
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 \\ 
+1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 0  
+\end{bmatrix}^2 =\begin{bmatrix}s_3 & f_4 & f_3 \end{bmatrix}
+$
+
+通过数学归纳法，得:
+
+$\begin{bmatrix}s_1 & f_2 & f_1 \end{bmatrix} \times 
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 \\ 
+1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 0  
+\end{bmatrix}^{n-1} =\begin{bmatrix}s_n & f_{n+1} & f_n \end{bmatrix}
+$
+
+
+### 三、实现代码
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+#define int long long
+#define endl "\n"
+const int N = 3;
+int n, mod;
+
+// 矩阵乘法
+void mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N]) {
+    int t[N][N] = {0};
+    for (int i = 0; i < N; i++) {
+        for (int j = 0; j < N; j++)
+            for (int k = 0; k < N; k++)
+                t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k] * b[k][j]) % mod) % mod;
+    }
+    memcpy(c, t, sizeof t);
+}
+
+signed main() {
+    int b[N][N] = {1, 1, 1};
+    int m[N][N] = {
+        {1, 0, 0},
+        {1, 1, 1},
+        {0, 1, 0}};
+
+    cin >> n >> mod;
+
+    for (int i = n - 1; i; i >>= 1) {
+        if (i & 1) mul(b, m, b);
+        mul(m, m, m);
+    }
+    printf("%d\n", b[0][0]);
+}
+```