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TangDou/AcWing_TiGao/T5/JuZhengChengFa/1304.md

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+##[$AcWing$ $1304$. 佳佳的斐波那契](https://www.acwing.com/problem/content/1306/)
+### 一、题目描述
+佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。
+
+在研究完 $Fibonacci$ 数列后，她创造出许多稀奇古怪的数列。
+
+例如用 $S(n)$ 表示 $Fibonacci$ 前 $n$ 项和 $mod\ m$ 的值，即 $S(n)=(F_1+F_2+…+F_n)\ mod\ m$，其中 $F_1=F_2=1,F_i=F_{i−1}+F_{i−2}$。
+
+可这对佳佳来说还是小菜一碟。
+
+终于，她找到了一个自己解决不了的问题。
+
+用 $T(n)=(F_1+2F_2+3F_3+…+nF_n)\ mod\ m$ 表示 $Fibonacci$ 数列前 $n$ 项变形后的和 $mod\ m$ 的值。
+
+现在佳佳告诉你了一个 $n$ 和 $m$，请求出 $T(n)$ 的值。
+
+**输入格式**
+共一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$。
+
+**输出格式**
+共一行，输出 $T(n)$ 的值。
+
+**数据范围**
+$1≤n,m≤2^{31}−1$
+
+**输入样例**：
+$5$ $5$
+
+**输出样例**：
+$1$
+
+**样例解释**
+$T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)\ mod\ 5=1$
+
+### 二、推导过程
+$$\because S_n=F_1+F_2+⋯+F_n=\sum_{i=1}^{n}F_i \\ 
+T_n=F_1+2*F_2+...+nF_n=\sum_{i=1}^{n}iF_i$$
+
+我们需要利用$T_n$构造新的数列，从而消去变量$i$，最后再反解出$T_n$：
+
+$$\therefore nS_n-T_n=(n-1)F_1+(n-2)F_2+...+F_{n-1}$$
+令$C_n=nS_n-T_n$
+
+$$\therefore C_n=(n-1)F_1+(n-2)F_2+...+F_{n-1} \ ①$$  
+$$C_{n+1}=nF_1+(n-1)F_2+...+F_{n} \ ② $$ 
+
+② 式 - ① 式
+
+$$C_{n+1}-C_n=F_1+F_2+F_3+...+F_n=S_n$$
+
+于是我们只需维护如下矩阵即可
+$$
+\begin{pmatrix}
+ f_{n+1} &  f_n  & s_n & c_n 
+\end{pmatrix} 
+$$
+
+有如下等式:
+$$
+\begin{pmatrix}
+ f_{n+1} &  f_n  & s_n & c_n 
+\end{pmatrix} \times
+\begin{pmatrix}
+ 1 &  1  & 1 & 0 \\
+ 1 &  0  & 0 & 0 \\
+ 0 &  0  & 1 & 1 \\
+ 0 &  0  & 0 & 1 
+\end{pmatrix}=
+\begin{pmatrix}
+ f_{n+2} &  f_{n+1}  & s_{n+1} & c_{n+1} 
+\end{pmatrix} 
+$$
+
+然后直接使用矩阵快速幂便可以求解
+
+
+
+**初始矩阵**
+$$\begin{pmatrix}
+ f_{2} &  f_{1}  & s_{1} & c_{1}  \\
+\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}
+ 1 & 1 & 1 & 0
+\end{pmatrix} 
+$$ 
+
+**递推式**
+$$\begin{pmatrix}
+ f_{n+1} &  f_{n}  & s_{n} & c_{n}  \\
+\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
+ f_{2} &  f_{1}  & s_{1} & c_{1}  \\
+\end{pmatrix} \times
+\begin{pmatrix}
+ 1 &  1  & 1 & 0 \\
+ 1 &  0  & 0 & 0 \\
+ 0 &  0  & 1 & 1 \\
+ 0 &  0  & 0 & 1 
+\end{pmatrix}^{n-1}
+$$ 
+
+**答案**
+$T_n=nS_n-C_n =n\times b[0][2]-b[0][3]$
+
+### $Code$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+#define int long long
+#define endl "\n"
+
+const int N = 4;
+int n, mod;
+
+// 矩阵乘法
+void mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N]) {
+    int t[N][N] = {0};
+    for (int i = 0; i < N; i++) {
+        for (int j = 0; j < N; j++)
+            for (int k = 0; k < N; k++)
+                t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k] * b[k][j]) % mod) % mod;
+    }
+    memcpy(c, t, sizeof t);
+}
+int main() {
+    int b[N][N] = {1, 1, 1, 0};
+    int m[N][N] = {
+        {1, 1, 1, 0},
+        {1, 0, 0, 0},
+        {0, 0, 1, 1},
+        {0, 0, 0, 1}};
+
+    cin >> n >> mod;
+    for (int i = n - 1; i; i >>= 1) {
+        if (i & 1) mul(b, m, b);
+        mul(m, m, m);
+    }
+
+    int t = (n * b[0][2]) - b[0][3];
+    t = (t % mod + mod) % mod;
+    printf("%lld\n", t);
+    return 0;
+}
+
+```