'commit'
This commit is contained in:
HuangHai
3
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289.in
Normal file
3
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289.in
Normal file
@@ -0,0 +1,3 @@
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2
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1 2 3 5
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1 2 4 5
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154
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289.md
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154
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289.md
Normal file
@@ -0,0 +1,154 @@
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##[$AcWing$ $1289$. 序列的第$K$个数](https://www.acwing.com/problem/content/1291/)
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### 一、题目描述
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$BSNY$ 在学等差数列和等比数列，当已知前三项时，就可以知道是等差数列还是等比数列。
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现在给你 **整数** 序列的前三项，这个序列要么是等差序列，要么是等比序列，你能求出第 $k$ 项的值吗?
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如果第 $k$ 项的值太大，对其取模 $200907$。
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**输入格式**
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第一行一个整数 $T$，表示有 $T$ 组测试数据；
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对于每组测试数据，输入前三项 $a,b,c$，然后输入 $k$。
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**输出格式**
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对于每组数据，输出第 $k$ 项取模 $200907$ 的值。
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**数据范围**
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$1≤T≤100$
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$1≤a≤b≤c≤10^9$
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$1≤k≤10^9$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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2
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1 2 3 5
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1 2 4 5
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```
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**输出样例**
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```cpp {.line-numbers}
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5
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16
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```
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### 二、$Q$：一个数列能不能即是等差数列又是等比数列?
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#### 结论：一个数列如果是即是等差又是等比，那么它必然是一个全等数列
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**证明**：
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设三个连续数字$a\ b \ c$,
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等差数列，所以$a+c=2b$ ①
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等比数列，所以$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$,所以$b^2=ac$ ②
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将$a=2b-c$代入②
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$b^2=(2b-c)*c$
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$b^2=2bc-c^2$
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$b^2-2bc+c^2=0$
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$(b-c)^2=0$
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∴$b=c$
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由此可知，题目中给了数列的前三项，存在可能即是等差又是等比的情况，但此时就是一个全等数列，按哪个规则进行计算都是一样的结果，题目不缺少条件。
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### 三、题意分析
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* **等差数列**
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公差 $d=b-a$
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第$1$项,$a+0*d$
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第$2$项,$a+1*d$
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第$3$项,$a+2*d$
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...
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第$k$项，应该是$a+(k-1)d$，这个很好求，直接求然后注意取模就行了。
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* **等比数列**
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公比$p=\frac{b}{a}$
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第$1$项,$a*p^0$
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第$2$项,$a*p^1$
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第$3$项,$a*p^2$
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...
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||||
第$k$项,$a*p^{k-1}=a*(\frac{b}{a})^{k-1}$
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这东西用 **快速幂** 就行了
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### 四、理解与思考
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数学的题，一般不会真的用代码去暴力计算，通常是推公式，证明。在完成公式的推导后，再用代码进行简单计算，比如$2022$ $CSP-J$的第二题就是一道公式的推导题，小心下细节就行了。
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- **快速幂**:把次数依次化为$2$进制，即可迭代
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- **龟速乘**:把当前数变为$2$进制加起来，用于数据很大的情况
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### 五、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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||||
#define int long long
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||||
const int MOD = 200907;
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||||
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||||
// 快速幂
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||||
int qmi(int a, int b) {
|
||||
int res = 1;
|
||||
while (b) {
|
||||
if (b & 1) res = res * a % MOD;
|
||||
a = a * a % MOD;
|
||||
b >>= 1;
|
||||
}
|
||||
return res;
|
||||
}
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||||
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||||
signed main() {
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||||
int n;
|
||||
cin >> n;
|
||||
while (n--) {
|
||||
int a, b, c, k;
|
||||
cin >> a >> b >> c >> k;
|
||||
if (a + c == b * 2) // 等差
|
||||
cout << (a + (b - a) * (k - 1)) % MOD << endl; // 这个比较简单
|
||||
else // 等比
|
||||
cout << a * qmi(b / a, k - 1) % MOD << endl; // 这个需要快速幂
|
||||
}
|
||||
}
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||||
```
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||||
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||||
### 六、龟速乘版本
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```cpp {.line-numbers}
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||||
#include <bits/stdc++.h>
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||||
using namespace std;
|
||||
#define int long long
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||||
|
||||
const int MOD = 200907;
|
||||
|
||||
// 龟速乘，快速加
|
||||
int qadd(int a, int b) {
|
||||
int res = 0;
|
||||
while (b) {
|
||||
if (b & 1) res = (res + a) % MOD;
|
||||
b >>= 1;
|
||||
a = (a + a) % MOD;
|
||||
}
|
||||
return res;
|
||||
}
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||||
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||||
// 快速幂
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||||
int qmi(int a, int b) {
|
||||
int res = 1;
|
||||
while (b) {
|
||||
if (b & 1) res = (res * a) % MOD;
|
||||
b >>= 1;
|
||||
a = a * a % MOD;
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||||
}
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||||
return res;
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||||
}
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signed main() {
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||||
int T;
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||||
cin >> T;
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||||
while (T--) {
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||||
int a, b, c, k;
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||||
cin >> a >> b >> c >> k;
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||||
if (a + c == b + b)
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||||
cout << (qadd(b - a, k - 1) + a) % MOD << endl; // 为等差即套公式，首项+公差*（项数-1）
|
||||
else
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||||
cout << qmi(b / a, k - 1) * a % MOD << endl; // 等比数列用快速幂算末项
|
||||
}
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||||
}
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||||
```
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||||
28
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289_1.cpp
Normal file
28
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289_1.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,28 @@
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||||
#include <bits/stdc++.h>
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||||
using namespace std;
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||||
#define int long long
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||||
const int MOD = 200907;
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||||
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||||
// 快速幂
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||||
int qmi(int a, int b) {
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||||
int res = 1;
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||||
while (b) {
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||||
if (b & 1) res = res * a % MOD;
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||||
a = a * a % MOD;
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||||
b >>= 1;
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}
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||||
return res;
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}
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signed main() {
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||||
int n;
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cin >> n;
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||||
while (n--) {
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int a, b, c, k;
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||||
cin >> a >> b >> c >> k;
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||||
if (a + c == b * 2) // 等差
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||||
cout << (a + (b - a) * (k - 1)) % MOD << endl; // 这个比较简单
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||||
else // 等比
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||||
cout << a * qmi(b / a, k - 1) % MOD << endl; // 这个需要快速幂
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||||
}
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||||
}
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||||
40
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289_2.cpp
Normal file
40
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1289_2.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,40 @@
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||||
#include <bits/stdc++.h>
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||||
using namespace std;
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||||
#define int long long
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||||
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||||
const int MOD = 200907;
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||||
// 龟速乘，快速加
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||||
int qadd(int a, int b) {
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||||
int res = 0;
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||||
while (b) {
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||||
if (b & 1) res = (res + a) % MOD;
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||||
b >>= 1;
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||||
a = (a + a) % MOD;
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}
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||||
return res;
|
||||
}
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||||
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||||
// 快速幂
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||||
int qmi(int a, int b) {
|
||||
int res = 1;
|
||||
while (b) {
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||||
if (b & 1) res = (res * a) % MOD;
|
||||
b >>= 1;
|
||||
a = a * a % MOD;
|
||||
}
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||||
return res;
|
||||
}
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||||
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||||
signed main() {
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||||
int T;
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||||
cin >> T;
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||||
while (T--) {
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||||
int a, b, c, k;
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||||
cin >> a >> b >> c >> k;
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||||
if (a + c == b + b)
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||||
cout << (qadd(b - a, k - 1) + a) % MOD << endl; // 为等差即套公式，首项+公差*（项数-1）
|
||||
else
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||||
cout << qmi(b / a, k - 1) * a % MOD << endl; // 等比数列用快速幂算末项
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||||
}
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||||
}
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||||
21
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.cpp
Normal file
21
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
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||||
#include <bits/stdc++.h>
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||||
using namespace std;
|
||||
#define int long long
|
||||
const int MOD = 100003;
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||||
|
||||
int qmi(int a, int b) {
|
||||
int res = 1;
|
||||
while (b) {
|
||||
if (b & 1) res = res * a % MOD;
|
||||
a = a * a % MOD;
|
||||
b >>= 1;
|
||||
}
|
||||
return res;
|
||||
}
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||||
|
||||
signed main() {
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||||
int m, n;
|
||||
cin >> m >> n;
|
||||
cout << (qmi(m, n) - m * qmi(m - 1, n - 1) % MOD + MOD) % MOD << endl;
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||||
return 0;
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||||
}
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||||
37
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.drawio
Normal file
37
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.drawio
Normal file
@@ -0,0 +1,37 @@
|
||||
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|
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|
||||
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|
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|
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|
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||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
<mxCell id="EC6tnr1v8_Lx4r9o5bla-7" value="m-1种选择，需要避让1号选择的宗教" style="text;html=1;strokeColor=none;fillColor=none;align=center;verticalAlign=middle;whiteSpace=wrap;rounded=0;fontSize=13;" vertex="1" parent="1">
|
||||
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|
||||
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|
||||
<mxCell id="EC6tnr1v8_Lx4r9o5bla-9" value="m-1种选择，需要避让2号选择的宗教" style="text;html=1;strokeColor=none;fillColor=none;align=center;verticalAlign=middle;whiteSpace=wrap;rounded=0;fontSize=13;" vertex="1" parent="1">
|
||||
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|
||||
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|
||||
<mxCell id="EC6tnr1v8_Lx4r9o5bla-10" value="m-1种选择，需要避让3号选择的宗教" style="text;html=1;strokeColor=none;fillColor=none;align=center;verticalAlign=middle;whiteSpace=wrap;rounded=0;fontSize=13;" vertex="1" parent="1">
|
||||
<mxGeometry x="390" y="300" width="80" height="50" as="geometry" />
|
||||
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|
||||
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|
||||
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|
||||
</diagram>
|
||||
</mxfile>
|
||||
1
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.in
Normal file
1
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.in
Normal file
@@ -0,0 +1 @@
|
||||
2 3
|
||||
82
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.md
Normal file
82
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/1290.md
Normal file
@@ -0,0 +1,82 @@
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||||
##[$AcWing$ $1290$. 越狱](https://www.acwing.com/problem/content/1292/)
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### 一、题目描述
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监狱有连续编号为 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个房间，每个房间关押一个犯人。
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有 $m$ 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。
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||||
如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。
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||||
求有多少种状态可能发生越狱。
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**输入格式**
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共一行，包含两个整数 $m$ 和 $n$。
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**输出格式**
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可能越狱的状态数，对 $100003$ 取余。
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||||
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||||
**数据范围**
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$1≤m≤10^8$
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||||
$1≤n≤10^{12}$
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||||
|
||||
**输入样例**
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||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
2 3
|
||||
```
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||||
**输出样例**
|
||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
6
|
||||
```
|
||||
**样例解释**
|
||||
所有可能的 $6$ 种状态为：$(000)(001)(011)(100)(110)(111)$。
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### 二、解题思路
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||||
本题可以采用容斥原理补集的思想。
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||||
考虑 $n$ 个犯人，$m$种宗教，如何安排不会导致犯罪。
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||||
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||||
第一个位置可以有 $m$ 个选择，则与第一个相邻的第二个位置就只有 $m−1$ 中选择。
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||||
|
||||
考虑第 $i$ 个位置，则为了不和他左侧的 $i−1$ 位置发生冲突，一共有 $m-1$ 种选择。
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||||
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||||
|
||||
|
||||
因此不会导致犯罪的方案是: $m⋅(m−1)^{n−1}$
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||||
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||||
则会导致犯罪的方案是：$m^n−m⋅(m−1)^{n−1}$
|
||||
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||||
计算一个数字的$n$次方，还要求取模，自然就需要使用快速幂~
|
||||
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||||
<font color='red'><b>注意</b></font>
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||||
注意减法取模可能会变成负数，那么我们要把他转化正数 $(a - b + mod) \% mod$ 即可
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||||
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||||
> 这里解释下：为什么取模+减法会出现负数呢？比如$MOD=10$
|
||||
> $a=13,b=5$
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||||
> $ (a\%MOD -b \% MOD) \% MOD=13\%10 - 5 \%10=3-5=-2$
|
||||
> 出现负数不是我们想的结果，那就在取模时加上$MOD$就行了
|
||||
|
||||
### 三、实现代码
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||||
```cpp {.line-numbers}
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
using namespace std;
|
||||
#define int long long
|
||||
const int MOD = 100003;
|
||||
|
||||
int qmi(int a, int b) {
|
||||
int res = 1;
|
||||
while (b) {
|
||||
if (b & 1) res = res * a % MOD;
|
||||
a = a * a % MOD;
|
||||
b >>= 1;
|
||||
}
|
||||
return res;
|
||||
}
|
||||
|
||||
signed main() {
|
||||
int m, n;
|
||||
cin >> m >> n;
|
||||
cout << (qmi(m, n) - m * qmi(m - 1, n - 1) % MOD + MOD) % MOD << endl;
|
||||
return 0;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
18
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/TestQMI.cpp
Normal file
18
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/TestQMI.cpp
Normal file
@@ -0,0 +1,18 @@
|
||||
#include <bits/stdc++.h>
|
||||
using namespace std;
|
||||
#define int long long
|
||||
|
||||
// 快速幂
|
||||
int qmi(int a, int b) {
|
||||
int res = 1;
|
||||
while (b) {
|
||||
cout << "b = " << (b & 1) << ", a = " << a << endl;
|
||||
if (b & 1) res = res * a;
|
||||
b >>= 1;
|
||||
a = a * a;
|
||||
}
|
||||
return res;
|
||||
}
|
||||
signed main() {
|
||||
cout << qmi(2, 10) << endl;
|
||||
}
|
||||
98
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/快速幂、龟速乘总结.md
Normal file
98
TangDou/AcWing_TiGao/T5/QMI/快速幂、龟速乘总结.md
Normal file
@@ -0,0 +1,98 @@
|
||||
## 快速幂、龟速乘总结
|
||||
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### 一、快速幂
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求 $a^b\ mod \ p$ 的结果。
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**$Code$**
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```cpp {.line-numbers}
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// 快速幂(不加mod)
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int qmi(int a, int b) {
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int res = 1;
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while (b) {
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if (b & 1) res = res * a;
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b >>= 1;
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a = a * a;
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}
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return res;
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}
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// 快速幂
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int qmi(int a, int b) {
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int res = 1;
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while (b) {
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if (b & 1) res = (res * a) % MOD;
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b >>= 1;
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a = a * a % MOD;
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}
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return res;
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}
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```
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**解释一下**：
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假如我们需要计算$2^{10}$,正常的办法是
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```cpp {.line-numbers}
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int s = 1;
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for (int i = 1; i <= 10; i++) s = s * 2;
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cout << s << endl;
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```
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毫无疑问，这个算法是正确的。但它执行的次数是$10$次，有没有什么办法可以优化一下运算次数呢？
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**优化**
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将$10$进行二进制分解$(10)_{10}=(1010)_2$
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这样处理后，从后向前，借助于我们熟悉的数位分离模板，就是遍历二进制的每一位。
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此时，我们发现，最左面的数字$1$，权值是$8$，第三位的数字权值是$2$
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同时，$2^8*2^2=2^{10}$
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为什么会有这么神奇的现象呢？其实就是因为幂运算的性质造成：
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$$\large 2^{10}=2^{8+2}=2^8*2^2$$
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$Q:$为啥非得拆成$8+2$,为啥不拆成$7+3$呢？
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就是因为类似于 **倍增** 的办法在计算中好处理呗！
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$a$在代码中的使命就是：**我不管你用不用的上，反正我每次是翻倍！**
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而枚举$b$的每一个数位，就是看看这个位置上的当前$a$是不是需要乘进来！幂运算的性质成功的把幂与二进制加法结合起来了。
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把倍增的思路$2,4,8,16,32,...$这样长上来的，这是因为
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$2^1*2^1=2^2$
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$2^2*2^2=2^4$
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$2^4*2^4=2^8$
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$2^8*2^8=2^{16}$
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$2^{16}*2^{16}=2^{32}$
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**模板题** : **[$P1226$ 【模板】快速幂||取余运算](https://www.luogu.com.cn/problem/P1226)**
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### 二、龟速乘
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求 $a*b\ mod \ p$ 的结果,$a,b,p$ 都是 $10^{18}$ 级别。
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$Code$
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```cpp {.line-numbers}
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// 龟速乘，快速加
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int qadd(int a, int b) {
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int res = 0;
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while (b) {
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if (b & 1) res = (res + a) % MOD;
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b >>= 1;
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a = (a + a) % MOD;
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}
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return res;
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}
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```
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这东西怎么理解呢？
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**举栗子吧**：
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$5*6_{10}=5*(110)_2$
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最右侧的$0$对就的权值是$5^1=5$ ①
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右侧第二的$1$对就的权值是$5*2=10$ ②
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右侧第三的$1$对就的权值是$10*2=20$ ③
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而$② ③$对应的位置上有数字$1$，有效，$①$无效
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结果就是$10+20=30$
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