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TangDou/AcWing_TiGao/T5/TongYu/203.md

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+##[$AcWing$ $203$. 同余方程](https://www.acwing.com/problem/content/description/205/)
+
+### 一、题目描述
+求关于 $x$ 的同余方程 $ax≡1~(mod~b)$ 的 **最小正整数解**。
+
+**输入格式**
+输入只有一行，包含两个正整数 $a,b$，用一个空格隔开。
+
+**输出格式**
+输出只有一行，包含一个正整数 $x$，表示最小正整数解。
+
+输入数据保证一定有解。
+
+**数据范围**
+$2≤a,b≤2×10^9$
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+**输入样例**
+```cpp {.line-numbers}
+3 10
+```
+**输出样例**
+```cpp {.line-numbers}
+7
+```
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+><font color='red' size=4><b>样例解读：$3*7\%10=1$,此时$7$是最小正整数解</b></font>
+
+### 二、解题思路
+
+**线性同余方程模板题**
+
+因为题目说一定有解。根据裴蜀定理，线性同余方程 $a*x≡b(mod~ m)$有解，当且仅当$gcd(a,m)|b$ 。
+
+
+
+回到本题，就是 $gcd(a,b)=1$，对照通用形式$\large ax+my=b$，上面的方程对位改写为 $\large ax+by=1$
+
+<font color='red' size=4><b>解释:
+
+通用式 $a*x≡b(mod~ m) \Leftrightarrow ax+my=b $
+
+本题式 $a*x≡1~(m od~b) \Leftrightarrow ax+by=1$
+</b></font>
+
+#### 扩欧解题两步走
+- ① 用扩展欧几里得算法求出方程$ax+by=1$的一组解$(x_0,y_0)$
+- ② 将 $x_0~mod~b$，转移到 $1\sim b$ 区间内即可
+
+
+### 三、实现代码
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+#define int long long
+#define endl "\n"
+
+int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
+    if (!b) {
+        x = 1, y = 0;
+        return a;
+    }
+    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
+    y -= a / b * x;
+    return d;
+}
+
+signed main() {
+    int a, b;
+    cin >> a >> b;
+    int x, y;
+    exgcd(a, b, x, y);
+    cout << (x % b + b) % b << endl;
+}
+```
+
+