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TangDou/CSP-J/AcWingTraining/T6/416.md

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+## [$AcWing$ $416$. 麦森数](https://www.acwing.com/problem/content/description/418/)
+
+### 一、考虑如何求位数
+
+我们发现在 $x \in (10^k∼10^{k+1}−1)$ 之间的数均有 $k+1$ 位。对于正整数 $x$，位数等于 $⌊log_{10}x⌋+1$。
+
+而由于$2$的整次幂的末位数字不为$0$，减1并不会使得它位数发生变化，因此 $2^{P−1}$ 的位数和 $2^P$ 的位数相同，所以 $2^{P}-1$ 的位数等于$2^{P}$,等于$⌊log_{10}2^P⌋+1=⌊Plog_{10}2⌋+1$。
+
+$cmath$库中有函数 $log10()$，直接使用即可。
+
+### 二、考虑如何求最后$500$位数
+
+用快速幂，时间复杂度是 $500^2logP=5×10^6$
+
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+
+using namespace std;
+const int N = 1e5 + 10;
+
+// 高精度乘以高精度模板
+int a[N], al;
+int b[N], bl;
+void mul(int a[], int &al, int b[], int &bl) {
+    int c[N] = {0}, cl = al + bl;
+    for (int i = 1; i <= al; i++)
+        for (int j = 1; j <= bl; j++)
+            c[i + j - 1] += a[i] * b[j];
+
+    int t = 0;
+    for (int i = 1; i <= al + bl; i++) {
+        t += c[i];
+        c[i] = t % 10;
+        t /= 10;
+    }
+    memcpy(a, c, sizeof c);
+    // 截取尾部有效长度500位
+    al = 500;
+    // 去除前导0
+    while (al > 1 && a[al] == 0) al--;
+}
+
+// 快速幂+高精度 x^k
+void qmi(int x, int k) {
+    a[++al] = 1, b[++bl] = x; // 2 ^100 b[1]=2
+    while (k) {
+        if (k & 1) mul(a, al, b, bl);
+        k >>= 1;
+        mul(b, bl, b, bl);
+    }
+}
+
+int main() {
+    // 计算 2^p-1的值
+    int p;
+    cin >> p;
+    // 利用快速幂，计算2^p
+    qmi(2, p);
+    // 最后一位减去一个1，因为2^k最后一位肯定不是0，所以减1不会产生借位，直接减去即可！
+    a[1]--;
+
+    // 一共多少位
+    printf("%d\n", (int)(p * log10(2) + 1));
+
+    for (int i = 500; i; i--) {
+        printf("%d", a[i]);
+        // 该换行了,就是到了第二行的行首
+        if ((i - 1) % 50 == 0) puts("");
+    }
+    return 0;
+}
+```