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TangDou/Topic/【扩展】欧几里得算法.md

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+## [扩展中国剩余定理](https://www.luogu.com.cn/problem/P4777)
+
+### 一、[题目描述]
+
+给定  $k$ 组非负整数  $m_i, a_i$ ，求解关于  $x$ 的方程组的最小非负整数解。
+$$\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ m_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm mod}\ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_k\ ({\rm mod}\ m_k)\end{cases}$$
+
+### 二、推导过程
+首先，我们假定已经找到了前$k-1$个方程组的解：$ans+iM$,其中$\displaystyle M=\prod_{i=1}^{k-1} m_i  $
+
+
+那么我们现在需要找到一个非负整数，满足$ans+tM \equiv a_k (mod \ m_k)$，移项得
+$tM \equiv a_k-ans(mod \ m_k)$
+
+我们发现，这个形式与扩展欧几里得($exgcd$)的变形$ax \equiv c(mod \ b)$ 相同，于是令 
+
+$$
+\large \left\{\begin{matrix}
+A = M & \\ 
+B = m_k & \\
+C=|a_k-ans| & \\ 
+X=t
+\end{matrix}  
+ \right.
+$$
+
+那么问题就转化为我们就要求不定方程$AX \equiv C(mod \ B)$ 的解。 
+
+而$exgcd(A,B,X,Y)$可以得到满足$AX+BY=gcd(A,B)$ 的一组解，将此式放在模$B$ 的意义下，就是$AX \equiv gcd(mod \ B)$.
+
+所以若使得原同余方程组有解，必须有：$C$ 是$gcd(a,b)$的倍数。
+
+那么我们要找的$t$就等于$X \cdot \frac{C}{gcd}$
+那么满足前$k$个同余方程的解就是$ans=ans+t\cdot M$。
+
+接下来更新$M=M\cdot m_k$,而在这里实际上$M$只需要求所有模数的最小公倍数即可，所以可以直接将其乘上$\frac{m_k}{gcd(m_k,M)}$,即$\frac{m_k}{gcd}$即可。
+
+$Code$
+```cpp {.line-numbers}
+#include <cstdio>
+#include <iostream>
+using namespace std;
+typedef long long ll;
+const ll MAXN = 1e5 + 50;
+void read(ll &x){/*Fast input, omit here*/}
+ll n,a[MAXN],m[MAXN];
+ll ans,M;
+ll mult(ll a,ll b,ll p){
+	ll ans = 0;
+	while(b){
+		if(b & 1) ans = (ans + a) % p;
+		a = (a + a) % p;
+		b >>= 1;
+	}
+	return ans;
+}
+ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
+	if(b == 0){
+      x = 1; y = 0;
+      return a;
+    }
+	ll gcd = exgcd(b, a%b, y, x);
+	y -= (a / b) * x;
+	return gcd;
+}
+ll solve(){
+	ans = a[1],M = m[1];
+	for(ll i = 2;i <= n;++i){
+		ll A = M, B = m[i], C =((a[i] - ans) % B + B) % B, x, y;
+		ll gcd = exgcd(A, B, x, y);
+        //耐心看………………ovo
+		if(C % gcd != 0) return -1;
+		x = mult(x, C / gcd, B);
+		ans += M * x;
+		M *= m[i] / gcd;
+		ans = (ans % M + M) % M;
+	}
+	return ans = (ans % M + M) % M;
+}
+int main(){
+	read(n);
+	for(ll i = 1;i <= n;++i){
+		read(m[i]), read(a[i]);
+	}
+	printf("%lld\n", solve());
+	return 0;
+} 
+```