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TangDou/Topic/快速幂、快速乘.md

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+## 快速幂与快速乘
+
+### 一、快速幂
+
+现有两个整数$m、n$，求$m^n$ 除以$1000000007$之后的余数。
+
+**输入**：输入整数$m、n$，用$1$个空格隔开，占$1$行。
+
+**输出**：输出$m^n$除以$1000000007$之后的余数，占$1$行。
+
+限制：$1<=m<=100$，$1<=n<=10^9$
+ 
+**输入示例**：
+$5$ $8$
+
+**输出实例**：
+$390625$
+
+####  解决算法复杂度问题
+如果用最直接的方法求$x^n$，我们需要进行$n-1$次乘法运算，算法复杂度为$O(n)$。
+
+快速幂的思想其实是二进制的思想：
+
+$(21)_{10}=(10101)_2$
+
+从右到左遍历每一个二进制数位,分两条线进行：
+
+* 数字$a$每次平方后写入$a$,即$a*=a$
+* 每个数位检查当前二进制数位是否为$1$,如果为$1$,则需要多累乘一个当前的$a$
+
+```cpp {.line-numbers}
+int qmi(int a, int b){
+    int ans = 1;
+    while(b){
+        if(b&1) ans*= a; //当b为奇数时，乘以余下的一个a
+        b >>= 1;//位运算，右移1位，相当于除以2
+        a*= a;
+    }
+    return ans;
+}
+```
+这样，递归函数的参数$n$逐次减半，因此算法复杂度为$O(logn)$。
+
+这样，递归函数的参数n逐次减半，因此算法复杂度为O(logn)。
+
+####　解决取模运算问题
+在遇到 **求某计算结果除以$M$**（本题中是$1000000007$）**之后的余数** 这类题时，可以按下述方法计算（这里$a$除以$b$之后的余数记作$a\%b$）。
+
+- 计算加法时，每相加一次执行一次$\%M$
+- 计算减法时，给被减数加上$M$之后，先算减法，后算$\%M$
+- 计算乘法时，每相乘一次执行一次$\%M$
+
+#### 引理$1$：积的取余等于取余的积的取余
+
+$(a*b)\%M=[(a\%M)*(b\%M)]\%M$
+
+**证明**：
+设$a$除以$M$的余数和商分别为$ar$、$aq$，
+$b$除以$M$的余数和商分别为$br、bq$，
+即
+$a/M=aq……ar$，
+$b/M=bq……br$，
+
+则有：
+
+$a∗b
+=(aq∗M+ar)∗(bq∗M+br)
+=aq∗bq∗M^2
+ +ar∗bq∗M+aq∗br∗M+ar∗br
+=(aq∗bq∗M+ar∗bq+aq∗br)∗M+ar∗br$
+
+即易得：
+$(a*b)\%M=(ar*br) \%M=[(a\%M)*(b\%M)]\%M$
+
+#### 引理2:幂的取余等于取余的幂再取余
+公式：$a^b\%M=(a\%M)^b\%M$
+
+**证明**：
+$(a\%M)^b\%M\\= [(a*1)\%M]^b\%M\\=\{[(a\%M)*(1\%M)]\%M\}^b\%M\\=[(a\%M)\%M]^b\%M$
+
+由上面公式迭代：
+$[(a\%M)^b]\%M=a^b\%M$
+因此，解决了上述两个问题，我们就可以实现 **快速幂** 的算法代码了：
+```cpp {.line-numbers}
+#include <iostream>
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+const LL mod = 1e9 + 7;
+/*
+测试用例：
+5 8
+
+结果：
+390625
+*/
+//快速幂
+LL ksm(LL a, LL b) {
+    LL ans = 1;
+    a %= mod;
+    while (b) {
+        if (b & 1) ans = (ans * a) % mod;
+        b >>= 1; //位运算，右移1位，相当于除以2
+        a = (a * a) % mod;
+    }
+    return ans;
+}
+int main() {
+    LL a, b;
+    cin >> a >> b;
+    printf("%lld\n", ksm(a, b));
+    return 0;
+}
+```
+
+### 二、快速乘
+同理，易得 **快速乘** 的算法：
+快速乘主要用于防止有两个较大的数相乘而直接乘爆, 因为是加法, 怎么都不可能加爆，所以目的就是为了防止爆范围。
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <iostream>
+using namespace std;
+typedef long long LL;
+const int mod = 1e9 + 7;
+/*
+测试用例:
+10000000 10000000
+
+答案：
+999300007
+*/
+//快速乘，计算a*b%mod
+LL ksc(LL a, LL b) {
+    LL ans = 0;
+    a %= mod;
+    while (b) {
+        if (b & 1) ans = (ans + a) % mod;
+        b >>= 1; //位运算，右移1位，相当于除以2
+        a = (a + a) % mod;
+    }
+    return ans;
+}
+int main() {
+    LL a, b;
+    cin >> a >> b;
+    printf("%lld\n", ksc(a, b));
+    return 0;
+}
+
+```
+
+### 三、总结
+- **快速幂**
+  解决$a^b\%mod$
+
+- **快速乘**
+  解决$a*b\%mod$