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GESP/Level5/GESP202506/T1.cpp

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+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+// 定义长整型以防止整数溢出
+typedef long long LL;
+
+// 全局变量定义
+int n, m; // n: 小A持有的课堂优秀券数量; m: 小A持有的作业优秀券数量
+int a, b; // a: 第一种兑换方式所需的课堂优秀券数量; b: 第一种兑换方式所需的作业优秀券数量
+int l, r; // l: 二分查找的左边界; r: 二分查找的右边界
+
+/**
+ * 检查函数：判断是否可以兑换v份奖品
+ *
+ * 参数：
+ *   v: 尝试兑换的奖品数量
+ *
+ * 返回值：
+ *   1 (true): 可以兑换v份奖品
+ *   0 (false): 不能兑换v份奖品
+ *
+ * 算法核心思路：
+ *   这是一个贪心策略的体现 - 先尽可能使用课堂券消耗较少的兑换方式
+ *   1. 首先假设全部使用第一种兑换方式（a张课堂券 + b张作业券）
+ *   2. 如果作业券数量超过小A持有的数量，则需要将部分兑换改为第二种方式
+ *   3. 每将一份兑换从第一种方式改为第二种方式：
+ *      - 课堂券需求变化：从a变为b（增加了b-a张）
+ *      - 作业券需求变化：从b变为a（减少了b-a张）
+ *   4. 最后检查调整后的券数量是否都不超过小A持有的数量
+ */
+int check(int v) {
+  // 使用LL类型防止整数溢出
+  LL x, y, t;
+
+  // 步骤1：先假设全部使用第一种方式（课堂券少、作业券多）
+  x = 1ll * v * a; // 计算所需的课堂券总数
+  y = 1ll * v * b; // 计算所需的作业券总数
+
+  // 步骤2：如果作业券不足，需要调整兑换方式
+  if (y > m) {
+    // 计算需要调整的兑换份数t
+    // 公式原理：
+    // - (y - m)是超出的作业券数量
+    // - 每调整一份兑换方式，可以减少(b-a)张作业券需求
+    // - 使用上取整公式确保足够的调整量，避免余数导致仍不足
+    t = (y - m + (b - a) - 1) / (b - a);
+
+    // 步骤3：调整后的券数量计算
+    y -= t * (b - a); // 作业券减少量：每份调整减少(b-a)张
+    x += t * (b - a); // 课堂券增加量：每份调整增加(b-a)张
+  }
+
+  // 步骤4：验证调整后的总需求是否在小A持有的券数量范围内
+  return x <= n && y <= m;
+}
+
+/**
+ * 主函数
+ *
+ * 算法流程：
+ *   1. 输入小A持有的课堂券和作业券数量
+ *   2. 输入兑换方式参数（两种兑换方式：a课堂+b作业 或 b课堂+a作业）
+ *   3. 预处理：确保n ≤ m，a ≤ b，简化后续计算逻辑
+ *   4. 特殊情况处理：如果两种兑换方式相同(a == b)，直接计算结果
+ *   5. 使用二分查找确定最大可兑换的奖品数量
+ */
+int main() {
+  // 输入小A持有的课堂优秀券和作业优秀券数量
+  cin >> n >> m;
+
+  // 输入第一种兑换方式所需的两种券数量
+  // 注意：根据题目设定，第二种兑换方式是b张课堂券和a张作业券
+  cin >> a >> b;
+
+  // 预处理1：确保n <= m
+  // 目的：
+  // 1. 保证我们总是用较小的那个券数量作为二分查找的右边界上限
+  // 2. 由于后续我们会优先使用课堂券较少的兑换方式，n(课堂券)应该不大于m(作业券)
+  if (n > m)
+    swap(n, m);
+
+  // 预处理2：确保a <= b
+  // 目的：
+  // 1. 确保第一种兑换方式是"课堂券少、作业券多"的组合
+  // 2. 这是贪心策略的基础，优先使用课堂券消耗较少的方式
+  if (a > b)
+    swap(a, b);
+
+  // 特殊情况处理：如果两种兑换方式相同
+  // 说明无论选择哪种方式，兑换一份奖品所需的课堂券和作业券数量相同
+  if (a == b) {
+    // 直接返回较小的券数量除以每份所需的券数量
+    // 因为n <= m且a == b，所以n/a就是最大可兑换数量
+    printf("%d\n", n / a);
+    return 0;
+  }
+
+  // 二分查找初始化
+  // 左边界l设为0（最少兑换0份奖品）
+  // 右边界r设为n（由于n <= m且a <= b，最多不能超过n/a份，而n是较小值）
+  l = 0;
+  r = n;
+
+  // 二分查找过程
+  // 使用"左闭右闭"区间的二分查找模板，这里采用了向上取整的中点计算方式
+  while (l < r) {
+    // 计算中点mid，使用(l + r + 1) >> 1的原因：
+    // 1. 这是一种避免死循环的技巧
+    // 2. 在查找上界时，如果使用普通中点(l + r)/2，可能会导致l无法到达r
+    // 3. 右移一位(>> 1)相当于除以2取整，但比除法运算更高效
+    int mid = (l + r + 1) >> 1;
+
+    // 检查是否可以兑换mid份奖品
+    if (check(mid))
+      // 如果可以兑换mid份，说明我们可以尝试兑换更多，将左边界移到mid
+      l = mid;
+    else
+      // 如果不能兑换mid份，说明需要减少兑换数量，将右边界移到mid-1
+      r = mid - 1;
+  }
+
+  // 输出结果，此时l和r相等，都是最大可兑换的奖品数量
+  printf("%d\n", r);
+
+  return 0;
+}