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GESP/Level5/GESP202503/T2.cpp

@@ -19,9 +19,9 @@ void solve() {
   int a, p;
   cin >> a >> p;
   int phi = p - 1;
-  for (int i = 2; i * i <= phi; i++) {
+  for (int k = 2; k * k <= phi; k++) {
-    if (phi % i == 0) {
+    if (phi % k == 0) {
-      if (qmi(a, i, p) == 1 || qmi(a, phi / i, p) == 1) {
+      if (qmi(a, k, p) == 1 || qmi(a, phi / k, p) == 1) {
         puts("No");
         return;
       }

GESP/Level5/GESP202503/T2.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-### 一、基础知识
+### 一、基础知识1
 
 
 $$ a^x \equiv 1 \pmod{p} $$
@@ -11,22 +11,14 @@ $$ a^x \equiv 1 \pmod{p} $$
 
 换句话说，$ a^x - 1 $ 能被 $ p $ 整除。
 
-在数论中，这个表达式经常出现在以下场景中：
-
-1. **阶（$Order$）**：当 $ a $ 和 $ p $ 互质时，满足这个等式的最小正整数 $ x $ 称为 $ a $ 模 $ p $ 的阶。
-2. **费马小定理**：当 $ p $ 是质数且 $ a $ 不被 $ p $ 整除时，有 $ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $
-3. **原根**：如果 $ a $ 的阶等于 $ p-1 $，则 $ a $ 称为模 $ p $ 的一个原根
-
-这个表达式在密码学（如$RSA$算法）、数论和计算机科学中都有重要应用。
 
 
-### 二、本题求解
+
+### 二、基础知识2
 
 显然:$a^{xy}=(a^x) ^y$
 
-
+比如：$2^{6}={2^2}^3$
-
-$2^{6}={2^2}^3$
 
 假设 $a ^x ≡1\ (\ mod\ p)$，则有 $a^{xy}  =(a ^x) ^y ≡1 ^y ≡1\ (mod\ p)$。
 > 上面这句话展示了模运算中指数运算的一个重要性质。让我们逐步理解：
@@ -39,34 +31,20 @@ $a^{xy} = (a^x)^y$
 $(a^x)^y ≡ 1^y\ (\text{mod}\ p)$
 而$1^y = 1$，所以最终得到$a^{xy} ≡ 1\ (\text{mod}\ p)$
 
-**理解**
+### 三、 原根判断算法
-这个性质表明，如果一个数的某次方模$p$等于1，那么它的任意倍数次方模$p$也等于1
-这在数论和密码学中非常有用，特别是在研究循环群和原根时
-例如，在$RSA$加密算法中，这个性质被用来证明解密过程的正确性
-> **举例说明**：
-假设$a = 2$, $p = 7$
-$2^3 = 8 ≡ 1\ (\text{mod}\ 7)$
-那么$2^{3×2} = 2^6 = 64 ≡ 1\ (\text{mod}\ 7)$
-$2^{3×3} = 2^9 = 512 ≡ 1\ (\text{mod}\ 7)$
-这个例子验证了上述结论的正确性
-因此，原命题是正确的，它展示了模运算中指数运算的一个重要性质。
-> 
-所以我们可以 $O(\sqrt{p})$ 分解 $p−1$ 的质因数，然后检查 $p−1$ 的每一个因数 $f$ 是否满足 $a^f ≡1(mod\ p)$，如果有任意一个因数满足上述条件，直接输出 $No$。如果所有因数均不满足，输出 $Yes$。
 
-### 三、 原根判断算法解析
+#### 1、原根定义
+在模 `p` 的情况下，`a` 是原根当且仅当 `a` 的阶数$k$等于 `p-1`。阶数是指最小的正整数 `k` 使得：
+$a^k \equiv 1 \mod p $
 
-#### 原根的定义
+#### 2、核心思想
-在模 `p` 的情况下，`a` 是原根当且仅当 `a` 的阶数等于 `p-1`。阶数是指最小的正整数 `k` 使得：
-\[ a^k \equiv 1 \mod p \]
-
-#### 代码的核心思想
 1. **分解 `p-1` 的质因数**：代码通过遍历 `2` 到 `sqrt(p-1)` 来找到 `p-1` 的所有质因数。
-2. **检查阶数**：对于每个质因数 `i`，检查是否：
+2. **检查阶数**：对于每个质因数 `k`，检查是否：
-   \[ a^i \equiv 1 \mod p \]
+   $a^k \equiv 1 \mod p $
    或
-   \[ a^{(p-1)/i} \equiv 1 \mod p \]
+   $a^{(p-1)/k} \equiv 1 \mod p$
    如果满足，说明 `a` 的阶数小于 `p-1`，因此 `a` 不是原根。
 
-#### 为什么这个方法有效？
+#### 3、为什么这个方法有效？
-- **阶数的性质**：如果 `a` 的阶数小于 `p-1`，那么它必须是 `p-1` 的某个真因数。因此，我们只需要检查 `p-1` 的所有质因数对应的幂次是否等于 1。
+- **阶数的性质**：如果 `a` 的阶数$k$小于 `p-1`，那么$k$必须是 `p-1` 的真因数。因此，我们只需要检查 `p-1` 的所有质因数对应的幂次是否等于 1。
 - **快速幂**：`qmi` 函数用于高效计算模幂，确保算法的时间复杂度在可接受范围内。