## 图的连通性判断

#### 总结
- 常用的判连通办法有四种，分别是并查集、$dfs$、$bfs$、$floyd$
- 最常用的是$dfs$、并查集
- 前三种适合稀疏图，$floyd$适合稠密图

### 一、并查集
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010; // 图的最大点数量
/**
 共提供两组数据，样例1为不连通用例，样例2为连通用例

 样例1：不连通，5号结点为独立的
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 1 2
 2 3
 3 4
 1 4

 样例2：连通，不存在独立结点
 5 4
 1 2
 2 3
 3 4
 1 5

 检测各种算法是否能准确获取结果
 */
int n;    // n个人
int m;    // m个亲戚
int x, y; // 输入两个人之间的关系
int p[N]; // 并查集数组
// 要深入理解这个递归并压缩的过程
int find(int x) {
    if (p[x] != x)         // 如果x不是族长,递归找父亲,副产品就是找回的结果更新掉自己的家族信息。
        p[x] = find(p[x]); // 非常经典的更新,路径压缩大法！
    // 返回族长是谁
    return p[x];
}

int cnt;

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    // freopen("BCJ1.in", "r", stdin);
    freopen("BCJ2.in", "r", stdin);
#endif
    // n个人员，m个关系
    cin >> n >> m;
    // 并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; // 自己是自己的老大
    // 录入m种关系,使用并查集来判断图的连通性
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> x >> y;
        // 加入并查集
        int px = find(x), py = find(y);
        if (px != py) p[px] = py;
    }
    // 图已经搭好了，接下来看它们根节点是否相同，如只有一个相同的根节点，则说明是一个连通图
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (p[i] == i) cnt++;

    if (cnt == 1)
        printf("图是连通的\n");
    else
        printf("图不是连通的\n");
    return 0;
}
```
### 二、$dfs$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, M = N << 2; // 图的最大点数量
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int n, m; // 表示图中有n个点，m条边
bool st[N];
int cnt;
// 深度遍历
void dfs(int u) {
    st[u] = 1;
    cnt++; // 多走了一个结点
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (!st[v])
            dfs(v);
    }
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in1.in", "r", stdin);
    // freopen("in2.in", "r", stdin);
#endif
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);
    // 采用邻接表建图
    cin >> n >> m;
    // m条边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }

    // 利用dfs进行检查是不是强连通的
    dfs(1);

    if (cnt == n)
        printf("图是连通的\n");
    else
        printf("图不是连通的\n");
    return 0;
}
```
### 三、$bfs$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, M = N << 2; // 图的最大点数量
int n, m;                       // 表示图中有n个点，m条边
bool st[N];
int cnt;

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in1.in", "r", stdin);
    // freopen("in2.in", "r", stdin);
#endif
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);
    // 采用邻接表建图
    cin >> n >> m;
    // m条边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    // 利用bfs进行检查是不是强连通的
    // 把1号结点放入队列
    queue<int> q;
    q.push(1);

    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = 1;
        cnt++;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (!st[v])
                q.push(v);
        }
    }

    if (cnt == n)
        printf("图是连通的\n");
    else
        printf("图不是连通的\n");
    return 0;
}
```
### 四、$floyd$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010; // 图的最大点数量
int n, m;

// 用floyd来判断起点是否可以达到终点
int g[N][N]; // 邻接矩阵
void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                g[i][j] = g[i][j] || (g[i][k] && g[k][j]);
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in1.in", "r", stdin);
    // freopen("in2.in", "r", stdin);
#endif

    // 采用邻接矩阵建图
    cin >> n >> m;
    // m条边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        // 双向建边
        g[a][b] = 1, g[b][a] = 1;
    }
    // 调用floyd
    floyd();

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!g[i][j]) {
                printf("图不是连通的\n");
                cout << i << " " << j << endl;
                exit(0);
            }
    printf("图是连通的\n");
    return 0;
}
```