## 取整函数及其性质

### 1、取整函数定义及分类

取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是**下取整**函数和**上取整**函数。


* [Floor and ceiling functions - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions#Number_of_digits)

* [Useful Properties of the Floor and Ceil Functions](https://janmr.com/blog/2009/09/useful-properties-of-the-floor-and-ceil-functions/)

下取整函数在数学中一般记作$\left \lfloor x \right \rfloor$，比自己小的最大整数，在计算机科学中一般记作$floor(x)$；

上取整函数在数学中一般记作$\left \lceil x \right \rceil$，比自己大的最小整数，在计算机科学中一般记作$ceil(x)$。

### 2、性质：(仅列举计算机学习中经常用到的性质)
*  任意实数$x$,有: $x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1$
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* 下取整函数为等幂运算: $\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor.$
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*  对任意的整数 $k$ 和任意实数 $x$，$\left \lfloor k+x \right \rfloor = k + \left \lfloor x \right \rfloor$
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* 一般的数值修约规则可以表述为将$x$映射到 $floor(x + 0.5)$。
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* $\left \lceil x \right \rceil = - \left \lfloor -x \right \rfloor$
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* 对于整数$k$有：$\left \lfloor k/2 \right \rfloor + \left \lceil k/2 \right \rceil = k$

### 3、对数与取整函数的关系
二者关系为:

$\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = \left \lfloor \log x \right \rfloor +1, x\in Z, x\geqslant 1$

**证明：**

令$m = \left \lfloor \log x \right \rfloor$，

则 $m \leq \log x < m+1$  ①

由式①可得

$2^{m} \leq x < 2^{m+1}$  ②,

进而可得

$2^{m} < x+1 \leq 2^{m+1}$

因为  $x\in Z$, 所以 $m < \log (x+1) \leq m+1$.

所以 $\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = m+ 1= \left \lfloor \log x \right \rfloor + 1$.

### 4、向下取整与向上取整的转换方法
我们知道，一般在程序语言中，两个整数相除都是向下取整。例如，$5/3=1,2/3=0$；

那么向上取整该如何表示呢，也就是说，**向上取整能不能通过向下取整的方式来表达**？

当然可以，下面是转换公式：
<center><img src='https://img-blog.csdn.net/20140113090723046'></center>